🕶️ M14 · Polarisation (montage)

Notes de préparation à l'agrégation

Cette page reprend mes notes de préparation à l'agrégation de physique pour le montage M14 — Polarisation des ondes électromagnétiques, relues, corrigées et complétées. Il s'agit d'un montage expérimental et non d'une leçon : l'accent est mis sur les protocoles, les mesures et leurs incertitudes. Ces notes peuvent servir de support de travail, mais elles doivent impérativement être retravaillées par chaque candidat : choix des expériences, niveau, exploitations et matériel disponible sont à adapter à sa propre présentation et au programme en vigueur. 📄 Version PDF · Source LaTeX

Un montage n'est pas une leçon : il s'agit de montrer des phénomènes, de les mesurer et de discuter la qualité des mesures. Le fil conducteur retenu est celui de mes notes d'origine :

mettre en évidence que le champ électrique d'une onde électromagnétique a une direction, d'abord avec des ondes centimétriques (où l'on « voit » l'antenne), puis en optique ;
produire une lumière polarisée rectilignement par dichroïsme, par réflexion vitreuse et par diffusion, et vérifier quantitativement la loi de Malus et la loi de Brewster ;
produire et analyser des polarisations circulaires et elliptiques avec des lames biréfringentes, puis mesurer un déphasage (méthode de Sénarmont) ;
appliquer : pouvoir rotatoire (saccharimétrie), photoélasticité, modulation électro-optique.

Objectifs, matériel et minutage¶

Partie	Expérience présentée (les autres sont « en réserve »)	Durée
Hyperfréquences	Rotation du récepteur ; grille polarisante (loi de Malus en hyperfréquences)	5 min
Loi de Malus	Polariseur, analyseur, photodiode : $U(\theta)$, régression sur $\cos^2\theta$	8 min
Brewster	Mesure de $\theta_B$ au goniomètre, incertitude de type A, indice du verre	8 min
Diffusion	Lumière diffusée à 90° par une cuve d'eau laiteuse : polarisation, bleu/rouge	4 min
Biréfringence	Lame $\lambda/4$ : production d'une polarisation circulaire ; analyse d'une polarisation inconnue	8 min
Applications	Pouvoir rotatoire du saccharose : loi de Biot, incertitudes	7 min
Total	Présentation de 40 min	40 min

Matériel. Banc hyperfréquences (émetteur à diode Gunn ≈ 9,4 GHz, récepteur à diode, grille métallique, voltmètre) ; lampe quartz-iode (QI) avec condenseur, diaphragme, filtre interférentiel ou coloré ; laser He-Ne (633 nm) ; lampe à vapeur de sodium ; polaroïds sur montures graduées (au moins trois) ; lames $\lambda/4$ et $\lambda/2$ ; goniomètre avec plateau gradué ; lame de verre à faces parallèles ; cuve en verre, lait ou thiosulfate de sodium et acide chlorhydrique dilué ; rhomboèdre de spath ; tubes de saccharimètre (1 dm et 2 dm), saccharose, balance, fioles jaugées ; pièce de plexiglas et dispositif de mise en contrainte ; photodiode avec résistance de charge, voltmètre ; éventuellement cellule de Pockels (KDP) et cellule à cristaux liquides.

Sécurité

Laser de classe 2 : ne jamais regarder le faisceau ni ses réflexions spéculaires (la lame de Brewster renvoie un faisceau vers la salle : placer l'écran avant d'allumer). Lampe QI : surfaces chaudes. Haute tension de la cellule de Pockels : montage vérifié hors tension, câbles blindés.

I. Décrire la polarisation d'une onde¶

1. Onde plane progressive et transversalité¶

Dans le vide, les équations de Maxwell imposent à une onde plane progressive monochromatique de vecteur d'onde $\vec{k} = k\,\vec{e}_z$ d'être transverse : $\vec{k}\cdot\vec{E} = 0$ et $\vec{B} = \vec{k}\times\vec{E}/\omega$. Le champ électrique le plus général s'écrit donc

\[ \vec{E}(z,t) = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vec{e}_y , \]

où $\varphi$ est le retard de phase de la composante $y$ sur la composante $x$. Le champ $\vec{B}$ se déduit de $\vec{E}$ : décrire la polarisation, c'est décrire la courbe que trace l'extrémité de $\vec{E}$ dans le plan d'onde, au cours du temps, en un point fixe.

Définition — État de polarisation

L'état de polarisation d'une onde plane monochromatique est la courbe décrite par l'extrémité du vecteur $\vec{E}(t)$ dans le plan transverse, en un point donné, avec son sens de parcours. En éliminant le temps,

\[ \frac{E_x^2}{E_{0x}^2} + \frac{E_y^2}{E_{0y}^2} - \frac{2E_xE_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos\varphi = \sin^2\varphi : \]

c'est une ellipse inscrite dans le rectangle $[-E_{0x},E_{0x}]\times[-E_{0y},E_{0y}]$.

États de polarisation d'une onde plane (rectiligne, circulaire gauche, circulaire droite, elliptique), vus par un observateur qui reçoit l'onde

2. Les cas particuliers utiles¶

Propriété — Polarisations rectiligne, circulaire, elliptique

$\varphi = 0$ ou $\pi$ : l'ellipse dégénère en un segment, la polarisation est rectiligne, inclinée de $\alpha$ sur $Ox$ avec $\tan\alpha = \pm E_{0y}/E_{0x}$.
$\varphi = \pm\pi/2$ et $E_{0x} = E_{0y}$ : circulaire.
Tout autre cas : elliptique. Les axes de l'ellipse sont le long de $Ox$ et $Oy$ si et seulement si $\varphi = \pm\pi/2$.

Sens de parcours. Pour un observateur qui reçoit l'onde ($\vec{k}$ dirigé vers lui), la polarisation est dite gauche si $\vec{E}$ tourne dans le sens trigonométrique ($0 < \varphi < \pi$ avec la convention ci-dessus) et droite s'il tourne dans le sens horaire ($-\pi < \varphi < 0$).

Démonstration — sens de rotation

À $t = 0$, $\vec{E} = (E_{0x},\,E_{0y}\cos\varphi)$ et $\dot{\vec{E}} = (0,\,\omega E_{0y}\sin\varphi)$ : si $\sin\varphi > 0$, le vecteur situé sur le bord droit du rectangle ($E_x = E_{0x}$) monte, donc tourne dans le sens trigonométrique vu de l'observateur qui reçoit l'onde (axe $z$ pointant vers lui).

Attention — Conventions

Cette convention (Bruhat, Pérez, Hecht) est celle de l'optique : « droite » = sens horaire pour l'observateur qui reçoit l'onde. En physique des particules, on parle d'hélicité : une onde circulaire gauche au sens optique porte une hélicité positive (moment cinétique $+\hbar$ par photon selon $\vec{k}$). Toujours annoncer la convention adoptée devant le jury.

Hélices décrites par l'extrémité du champ électrique des ondes circulaires gauche et droite, photographiées à t = 0

Remarque — vecteurs de Jones

En notation complexe, $\underline{\vec{E}} = e^{i(kz - \omega t)}\begin{pmatrix} E_{0x} \\ E_{0y}e^{i\varphi}\end{pmatrix}$. Le vecteur colonne normalisé est le vecteur de Jones : $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (rectiligne selon $x$), $\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\ \pm i\end{pmatrix}$ (circulaires). Polariseurs et lames sont des matrices $2\times2$ ; une lame de retard $\varphi$ d'axes $x$, $y$ est $\mathrm{diag}(1, e^{i\varphi})$. Ce formalisme rend mécaniques les calculs de la partie VI.

3. Lumière naturelle et lumière partiellement polarisée¶

Une source thermique émet des trains d'ondes brefs (temps de cohérence de l'ordre de $10^{-14}\,\mathrm{s}$ en lumière blanche, jusqu'à $10^{-9}\,\mathrm{s}$ pour une raie spectrale) dont la polarisation change aléatoirement d'un train à l'autre : à l'échelle d'un détecteur, tous les états se succèdent avec la même probabilité. C'est la lumière naturelle (non polarisée). Un polariseur idéal en transmet la moitié de l'intensité, quelle que soit son orientation. Entre les deux extrêmes, on définit le degré de polarisation $P = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})$ mesuré en tournant un analyseur ($P = 1$ pour une rectiligne, $P = 0$ pour la lumière naturelle ou circulaire : l'analyseur seul ne les distingue pas, voir VI.3).

Le vecteur $\vec{E}$ a une direction : encore faut-il le montrer. Les ondes centimétriques, dont la longueur d'onde est à l'échelle de la main, sont l'outil le plus parlant.

II. Mise en évidence avec des ondes centimétriques¶

1. Le banc hyperfréquences¶

Expérience 1 — Rotation du récepteur

Matériel. Émetteur à diode Gunn ($f \approx 9{,}4\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = c/f \approx 3{,}2\,\mathrm{cm}$) muni d'un cornet ; récepteur à diode de détection dans un cornet identique, monté sur un support tournant autour de l'axe émetteur-récepteur ; voltmètre continu.

Protocole. Aligner les deux cornets à 40 cm environ, régler le gain pour une tension $U_0$ de quelques volts. Tourner le récepteur d'un angle $\psi$ autour de l'axe par pas de 15° et relever $U(\psi)$.

Observation attendue. $U$ décroît, s'annule pour $\psi = 90°$, remonte jusqu'à $U_0$ à 180°. Aux faibles niveaux la diode est quadratique ($U \propto \overline{E^2}$) : $U(\psi) \approx U_0\cos^2\psi$.

Banc hyperfréquences : émetteur à diode Gunn, grille métallique, récepteur tournant et voltmètre

$\psi$ (°)	0	15	30	45	60	75	90
$U/U_0$ attendu ($\cos^2\psi$)	1	0,93	0,75	0,50	0,25	0,07	0

(Valeurs typiques : la courbe réelle s'écarte de $\cos^2\psi$ près des maxima si la diode quitte son régime quadratique.)

Cette expérience ne se comprend pas avec une onde scalaire : l'antenne, un brin conducteur, n'est sensible qu'à la projection de $\vec{E}$ sur sa direction. L'onde émise par la diode Gunn est polarisée rectilignement, parallèlement au brin de l'antenne émettrice.

2. La grille polarisante : loi de Malus en hyperfréquences¶

Expérience 2 — Grille métallique

Protocole. Émetteur et récepteur alignés (brins verticaux). Interposer une grille de fils métalliques parallèles, de pas $d \approx 1\,\mathrm{cm}$ :

fils parallèles à $\vec{E}$ (verticaux) : $U \approx 0$, l'onde est bloquée ;
fils perpendiculaires à $\vec{E}$ : $U \approx U_0$, l'onde passe ;
fils à 45° : $U \approx U_0/4$ ;
récepteur tourné de 90° ($U = 0$) puis grille à 45° : $U$ remonte à $U_0/4$.

Action de la grille : décomposition du champ incident, champ transmis, courants induits dans les fils

Propriété — Loi de Malus

Un polariseur rectiligne d'axe de transmission $\vec{u}$ transmet, d'une onde polarisée rectilignement selon $\vec{w}$ avec $(\vec{u},\vec{w}) = \alpha$, le champ $E_t = E_0\cos\alpha$ et donc l'intensité

\[ I_t = I_0\cos^2\alpha . \]

Le cas 3 ci-dessus s'interprète en appliquant deux fois la loi : $E_0\cos 45°$ transmis par la grille, puis projeté sur l'antenne réceptrice, $E_0\cos^2 45° = E_0/2$, soit $U_0/4$. Le cas 4 est le classique « troisième polariseur entre deux polariseurs croisés » : la grille à 45° fait tourner la direction de polarisation et rétablit un signal.

Ordres de grandeur — Hyperfréquences

$f = 9{,}4\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = 3{,}2\,\mathrm{cm}$ ; pas de la grille $d \approx 1\,\mathrm{cm} \approx \lambda/3$ ; taux d'extinction d'une bonne grille $> 100$ ; puissance émise $\sim 10\,\mathrm{mW}$ ; détection quadratique en dessous de $\sim 100\,\mathrm{µW}$ reçus.

Point agrégation — Pourquoi le pas de la grille doit-il être petit devant la longueur d'onde ?

Si $d \gtrsim \lambda$, l'onde « passe entre les fils » pour les deux polarisations (la grille diffracte comme un réseau). Si $d \ll \lambda$, la grille se comporte comme une surface continue pour la composante parallèle aux fils (réflexion quasi totale, comme un miroir métallique) et comme du vide pour la composante perpendiculaire, les électrons ne pouvant pas circuler transversalement sur un fil mince. Mes notes d'origine indiquaient « un pas de l'ordre de $\lambda$ » : c'est précisément la limite à éviter.

En optique ($\lambda \approx 0{,}5\,\mathrm{µm}$), la « grille » est une feuille de polymère dont les chaînes étirées jouent le rôle des fils : c'est le polaroïd. Reste à vérifier la loi de Malus avec un vrai détecteur quantitatif.

III. Polariseurs dichroïques et loi de Malus¶

1. Les polaroïds¶

Repère historique

Edwin Land brevette en 1929 le premier polariseur en feuille (film « J », microcristaux d'hérapathite alignés) et le commercialise dès 1932 ; le film « H » (alcool polyvinylique étiré puis dopé à l'iode), toujours utilisé, date de 1938. Les chaînes de polyiodure conductrices absorbent la composante de $\vec{E}$ parallèle aux chaînes : l'axe de transmission est perpendiculaire à l'étirement. On parle de dichroïsme (absorption sélective selon la polarisation).

Ordres de grandeur — Polaroïd H

Transmittances principales des films H (Polaroid) : $k_1 \approx 0{,}5$ à $0{,}8$ pour une vibration selon l'axe de transmission et $k_2$ de $\sim 10^{-5}$ (HN22) à quelques $10^{-3}$ (HN38) selon l'axe bloquant : plus un film transmet, moins il éteint. Transmission de la lumière naturelle $(k_1 + k_2)/2 \approx 0{,}22$, $0{,}32$ ou $0{,}38$ selon le film (la limite idéale est $0{,}5$). Le taux d'extinction $k_1/k_2$, de $10^2$ à $10^4$, se dégrade dans le bleu et dans le proche infrarouge : filtrer la lumière.

2. Vérification quantitative de la loi de Malus¶

Montage de la loi de Malus : source, condenseur, diaphragme, polariseur fixe, analyseur tournant, lentille, photodiode avec résistance de charge et voltmètre

Expérience 3 — Loi de Malus

Matériel. Lampe QI, condenseur, diaphragme, filtre (interférentiel 546 nm ou coloré), polariseur $P$ et analyseur $A$ sur montures graduées au degré, lentille de focalisation, photodiode avec résistance de charge ($R \approx 10\,\mathrm{k\Omega}$), voltmètre.

Protocole.

Former un faisceau peu divergent, tout entier reçu par la photodiode ; vérifier que le signal n'est pas saturé (il doit diminuer quand on diaphragme).
Mesurer la tension d'obscurité $U_{\mathrm{obs}}$ (lampe cachée) et la soustraire.
Croiser $P$ et $A$ (minimum de $U$) : ce repère vaut $\theta = 90°$.
Relever $U(\theta)$ tous les 10° sur un tour complet (au moins 19 points sur 180° : « ne pas se contenter de 10 valeurs ») ; répéter trois fois quelques positions pour estimer la dispersion.

Exploitation. Tracer $U$ en fonction de $\cos^2\theta$ ; régression linéaire $U = a\cos^2\theta + b$ ; comparer $b$ à la tension résiduelle attendue (polaroïds imparfaits, lumière parasite).

$\theta$ (°)	$\cos^2\theta$	$U$ (V)	$\theta$ (°)	$\cos^2\theta$	$U$ (V)
0	1,000	2,447	100	0,030	0,169
10	0,970	2,333	110	0,117	0,289
20	0,883	2,110	120	0,250	0,639
30	0,750	1,757	130	0,413	1,090
40	0,587	1,430	140	0,587	1,436
50	0,413	1,053	150	0,750	1,833
60	0,250	0,631	160	0,883	2,136
70	0,117	0,324	170	0,970	2,366
80	0,030	0,128	180	1,000	2,377
90	0,000	0,008

Valeurs typiques simulées ($U_0 = 2{,}40\,\mathrm{V}$, résiduel 30 mV, bruit 25 mV) : elles ne sont pas des mesures effectuées ici mais illustrent l'ordre de grandeur et la dispersion que l'on obtient avec ce montage.

Loi de Malus : relevé U(θ) avec la courbe théorique, puis linéarisation U en fonction de cos²θ et droite de régression

Incertitudes.

Angle (type B) : lecture au demi-degré sur une monture graduée, $u(\theta) = 0{,}5°/\sqrt{3} \approx 0{,}3°$, à laquelle s'ajoute l'incertitude de repérage du zéro (minimum plat de $\cos^2\theta$) : on retient $u(\theta) \approx 1°$. Propagée sur $x = \cos^2\theta$ : $u(x) = \lvert\sin 2\theta\rvert\,u(\theta)$, maximale à 45° ($\approx 0{,}017$) et nulle aux extrémités.
Tension (type B, notice du voltmètre) : $\pm(0{,}5\,\% + 2\ \text{digits})$, soit quelques mV ; la fluctuation de la lampe (type A, trois répétitions) domine souvent : $\approx 20\,\mathrm{mV}$.
Régression : les incertitudes sur la pente et l'ordonnée à l'origine proviennent de la dispersion des résidus ($u(a) = s_r/\sqrt{S_{xx}}$). Le coefficient $r^2 \approx 0{,}999$ est un indicateur de linéarité, pas une incertitude.

Attention — Pièges classiques

Linéarité du détecteur. La tension à vide d'une photodiode est logarithmique en éclairement ; seul le courant (court-circuit ou polarisation inverse, $U = R\,I_{\mathrm{ph}}$ avec $R$ assez faible) est proportionnel à l'éclairement. Vérifier la linéarité avec des densités neutres ou en doublant la distance source-détecteur (loi en $1/d^2$).
Saturation de la photodiode ou de l'amplificateur aux forts éclairements : la courbe s'aplatit près de $\theta = 0$.
Lumière blanche : les polaroïds laissent passer le rouge profond et le bleu ($k_2$ monte à $10^{-2}$ vers 700 nm) ; le résiduel $b$ devient grand. Filtrer.
Excentricité des montures : relever sur 360° et moyenner $\theta$ et $\theta + 180°$.
Un polaroïd absorbe ; il chauffe et se dégrade devant une lampe QI non filtrée (filtre anticalorique).

Point agrégation — Pourquoi cos² et pas cos ?

Le détecteur mesure une puissance, donc la moyenne temporelle de $E^2$, qui est quadratique en amplitude ; l'amplitude projetée vaut $E_0\cos\theta$ et l'intensité $I_0\cos^2\theta$. La moyenne de $\cos^2\theta$ sur toutes les orientations valant $1/2$, on retrouve qu'un polariseur transmet la moitié de la lumière naturelle.

Le polaroïd produit une polarisation rectiligne par absorption. La réflexion sur un diélectrique en produit une autre, par sélection : c'est la polarisation par réflexion vitreuse, que l'on exploite pour mesurer un indice.

IV. Polarisation par réflexion vitreuse : angle de Brewster¶

1. Coefficients de Fresnel¶

On considère une onde plane arrivant sous l'incidence $\theta_i$ sur le dioptre plan séparant deux diélectriques non magnétiques d'indices $n_1$ et $n_2$ ; $\theta_t$ est l'angle de réfraction ($n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$). On décompose $\vec{E}$ sur la polarisation $s$ (perpendiculaire au plan d'incidence) et la polarisation $p$ (contenue dans le plan d'incidence). Les relations de passage (continuité de $\vec{E}_\parallel$, de $\vec{H}_\parallel$ et de $D_\perp$, voir l'annexe A) donnent les coefficients de réflexion en amplitude (convention d'orientation des champs précisée en annexe A) :

\[ r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}, \qquad r_p = \frac{n_1\cos\theta_t - n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}. \]

En incidence normale, $r_s = r_p = (n_1 - n_2)/(n_1+n_2) = -0{,}2$ pour le verre ($R = 4\,\%$) ; en incidence rasante $\lvert r\rvert \to 1$.

Coefficients de Fresnel pour l'interface air-verre : amplitudes r_s et r_p, puis intensités R_s, R_p et lumière naturelle, en fonction de l'angle d'incidence

Théorème — Loi de Brewster (1815)

Le coefficient $r_p$ s'annule lorsque $\theta_i + \theta_t = \pi/2$, c'est-à-dire pour l'incidence de Brewster

\[ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} . \]

La lumière réfléchie est alors polarisée rectilignement, perpendiculairement au plan d'incidence ; le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté.

Démonstration

$r_p = 0 \iff n_1\cos\theta_t = n_2\cos\theta_i$. Avec $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$, en divisant membre à membre on obtient $\sin2\theta_t = \sin2\theta_i$, soit $\theta_t = \theta_i$ (exclu si $n_1 \neq n_2$) ou $\theta_i + \theta_t = \pi/2$. Alors $\cos\theta_t = \sin\theta_i$ et la loi de Snell–Descartes donne $n_1\sin\theta_i = n_2\cos\theta_i$, d'où $\tan\theta_B = n_2/n_1$.

Géométrie de l'incidence de Brewster : les dipôles induits dans le verre oscillent le long du rayon réfléchi et ne rayonnent pas dans cette direction

Remarque — interprétation physique

L'onde réfléchie est rayonnée par les dipôles induits dans le milieu 2. Pour la polarisation $p$, ces dipôles oscillent perpendiculairement au rayon réfracté ; quand celui-ci est perpendiculaire au rayon réfléchi, ils oscillent le long de la direction de réflexion, où le diagramme de rayonnement d'un dipôle ($\propto\sin^2\theta$, annexe B) s'annule. La polarisation $s$ n'a pas d'angle de Brewster : ses dipôles sont toujours perpendiculaires au plan d'incidence.

2. Mesure de l'angle de Brewster et de l'indice du verre¶

Montage de mesure de l'angle de Brewster sur goniomètre : laser, polariseur, lame de verre sur plateau gradué, écran

Expérience 4 — Angle de Brewster

Matériel. Laser He-Ne, polariseur, lame de verre sur le plateau gradué (vernier à la minute) d'un goniomètre, écran ou photodiode.

Protocole.

Orienter le polariseur pour que $\vec{E}$ soit dans le plan d'incidence (plan horizontal de la table) : contrôler avec un second polaroïd que l'extinction est bonne, car un laser He-Ne n'est que partiellement polarisé et sa polarisation peut dériver.
Repérer la position $\alpha_{\mathrm{i}}$ du plateau pour laquelle le faisceau réfléchi revient sur lui-même (incidence normale, lecture possible à l'autocollimation).
Tourner le plateau jusqu'à l'extinction du spot réfléchi : $\alpha_{\mathrm{f}}$. Le minimum étant plat, l'encadrer par deux positions de même éclairement et prendre le milieu, ou utiliser la photodiode.
$\theta_B = \alpha_{\mathrm{f}} - \alpha_{\mathrm{i}}$. Répéter $N$ fois en revenant à zéro, sans mélanger les mesures de deux lames différentes.

Mesures (relevé réel de mes notes d'origine, une lame).

Mesure	$\alpha_{\mathrm{i}}$	$\alpha_{\mathrm{f}}$	$\theta_B = \alpha_{\mathrm{f}} - \alpha_{\mathrm{i}}$
1	100° 0'	156° 0'	56,00°
2	100° 0'	155° 55'	55,92°
3	100° 0'	155° 0'	55,00°
4	100° 0'	156° 10'	56,17°

Exploitation (incertitude de type A). Moyenne $\overline{\theta_B} = 55{,}77°$ ; écart-type expérimental (estimateur non biaisé)

\[ s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(\theta_i - \overline{\theta_B}\right)^2} = 0{,}52° \qquad\text{et}\qquad u(\theta_B) = \frac{s}{\sqrt{N}} = 0{,}26° . \]

Pour un niveau de confiance de 95 % avec $N - 1 = 3$ degrés de liberté, le facteur de Student vaut $t_{95} = 3{,}18$, d'où l'incertitude élargie $U = 0{,}83°$ :

\[ \boxed{\theta_B = (55{,}8 \pm 0{,}8)° \quad (95\,\%)} \]

puis, avec $n = \tan\theta_B$ et $u(n) = u(\theta_B)/\cos^2\theta_B$ (en radians),

\[ \boxed{n = 1{,}47 \pm 0{,}05 \quad (95\,\%)} \]

Remarque

Mes notes d'origine donnaient une incertitude-type de 0,36° et $n = 1{,}48 \pm 0{,}05$ en utilisant 56° : la valeur correcte de $s/\sqrt{N}$ est 0,26° ; le résultat final est inchangé à l'arrondi près. En revanche, la mesure ne permet pas de trancher entre un borosilicate ($n_D = 1{,}473$) et un crown ordinaire (N-BK7 : $n = 1{,}515$ à 633 nm), les deux étant compris dans l'intervalle élargi à 95 % (l'écart à 1,515 vaut environ $3u$) ; un angle plus précis demanderait une photodiode et un ajustement parabolique du minimum.

Attention — Pièges

Le minimum de $R_p$ est plat ($R_p \propto (\theta - \theta_B)^2$) : l'œil le place à $\pm 1°$ ; encadrer le minimum ou utiliser un détecteur.
Une polarisation incidente imparfaitement $p$ laisse un résiduel $s$ réfléchi ($R_s(\theta_B) \approx 15\,\%$) : pas d'extinction totale, seulement un minimum.
La face arrière de la lame réfléchit aussi ; à l'incidence de Brewster, l'angle interne $\theta_t$ est précisément l'angle de Brewster du dioptre verre → air ($\tan\theta_t = n_1/n_2$) : les deux réflexions $p$ s'annulent ensemble, ce qui simplifie l'observation.
Plateau mal centré ou lame non verticale : le spot réfléchi monte ou descend quand on tourne, l'angle lu n'est plus l'angle d'incidence.

Applications

Lumière réfléchie par une étendue d'eau ($\theta_B = 53°$) ou une vitre : fortement polarisée $s$ ; les lunettes de soleil polarisantes (axe de transmission vertical) suppriment ces reflets, et les photographes utilisent un filtre polarisant tournant. Les fenêtres de Brewster d'un laser He-Ne ne réfléchissent pas la polarisation $p$ : le laser oscille sur cette polarisation, d'où sa polarisation rectiligne.

Le même rayonnement dipolaire qui explique Brewster explique pourquoi la lumière diffusée par de petites particules est polarisée.

V. Polarisation par diffusion¶

1. Diffusion de Rayleigh¶

Une particule de taille $a \ll \lambda$ (molécule, gouttelette submicronique) soumise au champ $\vec{E}$ de l'onde acquiert un moment dipolaire induit $\vec{p} = \alpha_{\mathrm{pol}}\varepsilon_0\vec{E}$ qui oscille à $\omega$ et rayonne (annexe B) :

\[ \langle\vec{\Pi}\rangle = \frac{\mu_0\,p_0^2\,\omega^4\,\sin^2\theta}{32\pi^2 c\, r^2}\,\vec{e}_r, \qquad \sigma_{\mathrm{R}} \propto \frac{\omega^4}{c^4} \propto \frac{1}{\lambda^4}, \]

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{p}$ et la direction d'observation. Deux conséquences :

la lumière diffusée est $(800/400)^4 = 16$ fois plus intense dans le bleu que dans le rouge : ciel bleu, soleil couchant rouge (le faisceau direct traverse $\sim 40$ fois plus d'atmosphère qu'au zénith et perd son bleu par diffusion Rayleigh ; les aérosols renforcent l'effet) ;
un dipôle ne rayonne pas le long de son axe : à 90° du faisceau, seule la composante de $\vec{E}$ perpendiculaire au plan de diffusion est rayonnée, la lumière diffusée est totalement polarisée rectilignement.

Diffusion par une cuve d'eau laiteuse : faisceau incident, dipôles induits, lumière diffusée à 90° polarisée perpendiculairement au plan de diffusion

Diagramme polaire du gain directionnel d'un dipôle oscillant, proportionnel à sin²θ

2. Expérience¶

Expérience 5 — Lumière diffusée à 90°

Matériel. Lampe QI, condenseur, diaphragme, cuve parallélépipédique d'eau, lait (quelques gouttes) ou thiosulfate de sodium ($\approx 0{,}1\,\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$) et acide chlorhydrique dilué, polaroïd, écran blanc.

Protocole.

Faisceau parallèle traversant la cuve d'eau claire : rien n'est visible latéralement.
Ajouter le lait goutte à goutte : le faisceau devient visible de côté, bleuté, et le faisceau transmis sur l'écran rougit.
Observer à 90° à travers le polaroïd : extinction quasi complète pour un axe parallèle au faisceau, maximum pour l'axe perpendiculaire au plan de diffusion. Observer vers l'avant ou l'arrière : pas d'extinction.
Variante cinétique : la dismutation du thiosulfate en milieu acide, $\ce{S2O3^{2-}_{(aq)} + 2H^+_{(aq)} -> S_{(s)} + SO2_{(aq)} + H2O_{(l)}}$, produit lentement du soufre colloïdal dont les grains grossissent : la lumière diffusée, d'abord bleue et polarisée (Rayleigh), devient blanche et dépolarisée (Mie, $a \gtrsim \lambda$).

Ordres de grandeur

Degré de polarisation à 90° : $P > 0{,}9$ avec du lait très dilué, $P \approx 0{,}7$ pour le ciel clair (diffusions multiples, anisotropie des molécules) ; rapport bleu/rouge 16 pour $\lambda$ de 400 à 800 nm.

Point agrégation — Le ciel bleu est-il dû aux poussières ?

Non : la diffusion Rayleigh est due aux molécules de l'air (fluctuations de densité) ; les poussières et gouttelettes, plus grosses que $\lambda$, diffusent en régime de Mie, peu sélectif en longueur d'onde, ce qui donne le blanc des nuages et de la brume. La dépendance en $\lambda^{-4}$ est celle de la puissance rayonnée par un dipôle induit ($\propto\omega^4$) loin de ses résonances (ultraviolet pour N₂ et O₂).

Jusqu'ici nous avons produit des polarisations rectilignes. Pour fabriquer et analyser des polarisations circulaires et elliptiques, il faut un milieu qui traite différemment deux polarisations rectilignes orthogonales : un cristal biréfringent.

VI. Biréfringence : production et analyse des polarisations elliptiques¶

1. Double réfraction et lames cristallines¶

Expérience 6 — Double réfraction dans le spath

Poser un rhomboèdre de calcite sur un texte : chaque lettre est dédoublée. Un polaroïd que l'on tourne éteint alternativement l'une et l'autre image, qui sont donc polarisées rectilignement selon deux directions orthogonales. En tournant le cristal, l'image extraordinaire tourne autour de l'image ordinaire.

$Double réfraction dans un rhomboèdre de calcite : rayons ordinaire et extraordinaire, double image$

Définition — Milieu uniaxe, lignes neutres

Dans un cristal uniaxe (calcite, quartz, mica), une direction privilégiée, l'axe optique, est telle qu'une onde polarisée rectilignement perpendiculairement à l'axe (onde ordinaire) voit l'indice $n_o$ et qu'une onde polarisée dans le plan contenant l'axe (onde extraordinaire) voit, pour une propagation perpendiculaire à l'axe, l'indice $n_e$. Une lame à faces parallèles taillée parallèlement à l'axe possède ainsi deux lignes neutres orthogonales : une vibration rectiligne alignée sur l'une d'elles la traverse sans modification.

Ordres de grandeur

Calcite : $n_o = 1{,}658$, $n_e = 1{,}486$ ($\Delta n = -0{,}172$, uniaxe négatif) ; quartz : $n_o = 1{,}5442$, $n_e = 1{,}5533$ ($\Delta n = +0{,}0091$, uniaxe positif) ; mica : $\Delta n \approx 0{,}005$. Une lame quart d'onde d'ordre zéro en quartz pour 589 nm a une épaisseur $e = \lambda_0/(4\Delta n) \approx 16\,\mathrm{µm}$ ; les lames commerciales sont souvent d'ordre multiple ($e\Delta n = (m + 1/4)\lambda_0$) ou composées de deux lames croisées.

2. Action d'une lame sur une vibration rectiligne¶

Soit une lame d'épaisseur $e$, de lignes neutres $u$ (indice $n_u$, axe rapide) et $v$ (indice $n_v > n_u$, axe lent), et une vibration rectiligne incidente d'amplitude $E_0$ inclinée de $\alpha$ sur $u$. À l'entrée, $E_u = E_0\cos\alpha\cos\omega t$ et $E_v = E_0\sin\alpha\cos\omega t$ ; à la sortie la composante lente est retardée :

\[ E_u = E_0\cos\alpha\,\cos\omega t, \qquad E_v = E_0\sin\alpha\,\cos(\omega t - \varphi), \qquad \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n_v - n_u)\,e . \]

La vibration émergente est elliptique, avec $E_{0x} = E_0\cos\alpha$ et $E_{0y} = E_0\sin\alpha$ dans l'équation de l'ellipse.

Une lame biréfringente transforme une vibration rectiligne en vibration elliptique : entrée, lame et lignes neutres, sortie

Propriété — Lames demi-onde et quart d'onde

Lame demi-onde ($e\Delta n = \lambda_0/2$, $\varphi = \pi$) : $E_v \to -E_v$, la vibration reste rectiligne mais symétrique de la vibration incidente par rapport aux lignes neutres : rotation de $2\alpha$.
Lame quart d'onde ($e\Delta n = \lambda_0/4$, $\varphi = \pi/2$) : la vibration émergente est elliptique d'axes les lignes neutres ; elle est circulaire si $\alpha = 45°$. Réciproquement, une vibration elliptique dont les axes coïncident avec les lignes neutres d'une lame $\lambda/4$ ressort rectiligne (inclinée de $\arctan(E_{0y}/E_{0x})$) ; une circulaire ressort rectiligne à 45° des lignes neutres.

Action des lames demi-onde et quart d'onde sur une vibration rectiligne

Expérience 7 — Lame quart d'onde : production d'une polarisation circulaire

Matériel. Laser He-Ne (ou lampe + filtre), polariseur $P$, lame $\lambda/4$ pour 633 nm sur monture graduée, analyseur $A$, photodiode.

Protocole.

Lignes neutres. $P$ et $A$ croisés, insérer la lame et la tourner : quatre extinctions par tour repèrent les lignes neutres (la lame n'agit pas sur une vibration qui leur est parallèle). Les marquer.
Circulaire. Tourner la lame de 45° à partir d'une extinction. Tourner alors $A$ : l'intensité reste constante (à quelques % près). Vérifier que ce n'est pas de la lumière naturelle (voir expérience 8).
Elliptique. Pour un angle $\alpha \neq 45°$, $A$ donne un minimum non nul et un maximum ; mesurer $I_{\min}/I_{\max} = \tan^2\alpha$ (ou $\cot^2\alpha$) et comparer.

Pièges. Une lame $\lambda/4$ prévue pour 589 nm donne à 633 nm un déphasage $\varphi = (\pi/2)(589/633) \approx 0{,}465\pi$ (ordre zéro) : l'ellipse n'est pas tout à fait un cercle, et c'est bien pire pour une lame d'ordre multiple. Repérer le sens lent/rapide de la lame fixe le sens de rotation (gauche ou droite), distinguable avec une seconde $\lambda/4$.

3. Analyse d'une polarisation inconnue¶

Expérience 8 — Identifier un état de polarisation

On dispose d'un analyseur $A$ et d'une lame $\lambda/4$. La figure ci-dessous résume la procédure ; en pratique :

$A$ seul : extinction totale ⇒ rectiligne ; intensité constante ⇒ circulaire ou naturelle ; minimum non nul ⇒ elliptique ou partiellement polarisée.
Cas « constante » : placer la $\lambda/4$ (orientation quelconque), tourner $A$ : extinction ⇒ circulaire ; toujours constante ⇒ naturelle.
Cas « minimum non nul » : placer la $\lambda/4$ avec une ligne neutre selon la direction du maximum de $A$ (axe de l'ellipse), tourner $A$ : extinction ⇒ elliptique ; minimum non nul ⇒ mélange de lumière naturelle et polarisée.

Sources « inconnues » à proposer au jury : réflexion vitreuse hors Brewster (partiellement polarisée), écran LCD d'ordinateur (rectiligne, souvent à 45°), lumière du ciel à 90° du Soleil, laser + $\lambda/4$ à 30° (elliptique).

Arbre de décision pour l'analyse d'une polarisation inconnue avec un analyseur et une lame quart d'onde

4. Mesure d'un déphasage : méthode de Sénarmont¶

Expérience 9 — Déphasage d'une lame par la méthode de Sénarmont

Principe. Entre polariseur $P$ (vertical) et analyseur $A$ croisés, une lame $C$ de déphasage inconnu $\varphi$ est placée avec ses lignes neutres à 45° de $P$ : la vibration émergente est elliptique, d'axes parallèle et perpendiculaire à $P$ (annexe D). Une lame quart d'onde $Q$ dont les lignes neutres sont parallèles à $P$ et $\perp P$ la rend rectiligne, inclinée de $\theta = \varphi/2$ sur $P$. On tourne $A$ jusqu'à l'extinction : la rotation $\theta$ donne $\varphi = 2\theta$.

Protocole.

$P$ et $A$ croisés, sans lame : extinction de référence.
Insérer $C$, la tourner jusqu'à l'extinction (lignes neutres selon $P$), puis la tourner de 45° exactement.
Retirer $C$, insérer $Q$ et la tourner jusqu'à l'extinction (lignes neutres selon $P$).
Remettre $C$ (à 45°) : tourner $A$ jusqu'à l'extinction ; lire $\theta$ ; $\varphi = 2\theta$ modulo $\pi$ (le sens de rotation lève l'ambiguïté lent/rapide).

Exploitation. Avec $u(\theta) \approx 0{,}5°$ (extinction nette), $u(\varphi) \approx 1°$, soit environ 1 % du déphasage d'une lame $\lambda/4$ (90°). On peut mesurer ainsi la biréfringence d'une feuille de cellophane ou d'un ruban adhésif, et vérifier la loi $\varphi \propto 1/\lambda_0$ avec plusieurs raies du mercure.

Méthode de Sénarmont : polariseur, lame inconnue à 45°, lame quart d'onde, analyseur tourné de φ/2

Les lames cristallines sont des biréfringences linéaires. Certains milieux présentent une biréfringence circulaire (pouvoir rotatoire), d'autres acquièrent une biréfringence sous contrainte ou sous champ électrique : trois applications pour terminer.

VII. Applications¶

1. Pouvoir rotatoire : saccharimétrie¶

Propriété — Loi de Biot (1815)

Une solution d'une substance chirale (saccharose, glucose, acide tartrique) fait tourner le plan de polarisation d'une vibration rectiligne d'un angle

\[ \alpha = [\alpha]_\lambda^{T}\;\ell\;c , \]

proportionnel à la longueur $\ell$ traversée et à la concentration massique $c$. Le pouvoir rotatoire spécifique $[\alpha]_\lambda^T$ dépend de la longueur d'onde (dispersion rotatoire, approximativement en $1/\lambda^2$) et de la température. Unités d'usage : $\alpha$ en degrés, $\ell$ en dm, $c$ en $\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$ ; saccharose : $[\alpha]_D^{20} = +66{,}5\ °\cdot\mathrm{dm^{-1}\cdot g^{-1}\cdot cm^{3}}$ (dextrogyre : rotation dans le sens horaire pour l'observateur qui reçoit la lumière).

Remarque — origine physique

Fresnel (1822) interprète le pouvoir rotatoire par une biréfringence circulaire : les ondes circulaires gauche et droite se propagent avec des indices $n_G \neq n_D$, et une vibration rectiligne, somme de deux circulaires, ressort tournée de $\alpha = \pi(n_G - n_D)\ell/\lambda_0$. Pour $\alpha = 26{,}6°$ sur 2 dm à 589 nm : $n_G - n_D \approx 4\times10^{-7}$, une biréfringence minuscule, mesurable parce que l'effet est cumulatif sur $3\times10^5$ longueurs d'onde. Le quartz cristallin (21,7 °/mm) donne $\Delta n = 7\times10^{-5}$.

Saccharimètre : lampe à sodium, polariseur, tube de solution, analyseur gradué, détecteur ; rotation du plan de polarisation

Expérience 10 — Loi de Biot avec le saccharose

Matériel. Lampe à vapeur de sodium (ou laser + filtre), polariseur, tubes de 2 dm à fenêtres, analyseur gradué, photodiode ou œil ; saccharose, balance au centigramme, fioles de 100 mL.

Protocole.

Préparer des solutions à 5, 10, 15, 20, 25 et 30 g pour 100 mL ($c$ de 0,05 à $0{,}30\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$) ; mesurer la température.
Tube rempli d'eau pure : croiser $P$ et $A$ (extinction), lire $\alpha_0$.
Remplacer par chaque solution, retrouver l'extinction : lire $\alpha_0 + \alpha$ ; noter le sens de rotation (saccharose : horaire).
Encadrer chaque extinction par deux positions de même éclairement (le minimum est plat).

Exploitation. Tracer $\alpha(c)$, régression linéaire passant au voisinage de l'origine ; $[\alpha] = \text{pente}/\ell$. Comparer à $66{,}5\ °\cdot\mathrm{dm^{-1}\cdot g^{-1}\cdot cm^{3}}$ ; en déduire inversement la concentration d'une solution inconnue (« sucre d'un soda »).

$c$ ($\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$)	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30
$\alpha$ (°), $\ell = 2\,\mathrm{dm}$	0,0	6,7	13,2	19,7	26,5	33,0	39,9

Valeurs typiques simulées ($u(\alpha) = 0{,}3°$, $u(c) = 0{,}002\,\mathrm{g\cdot cm^{-3}}$) ; la régression donne $[\alpha] = (66{,}3 \pm 0{,}2)\ °\cdot\mathrm{dm^{-1}\cdot g^{-1}\cdot cm^{3}}$.

Loi de Biot : rotation en fonction de la concentration avec régression linéaire, puis dispersion rotatoire du saccharose en fonction de la longueur d'onde

Attention — Pièges

En lumière blanche, la dispersion rotatoire empêche toute extinction : on observe des teintes sensibles ; travailler en lumière monochromatique (raie D).
Bulles dans le tube, fenêtres sales ou contraintes (biréfringence parasite).
La température ne modifie $[\alpha]$ que de quelques millièmes de pour cent par kelvin pour le saccharose autour de 20 °C (tables de saccharimétrie) : négligeable ici, mais à mentionner en notant la température de la salle.
Ne pas confondre dextrogyre (saccharose, glucose) et lévogyre (fructose) : le mélange équimolaire issu de l'hydrolyse du saccharose est lévogyre, d'où le nom de « sucre inverti ».

2. Photoélasticité¶

Expérience 11 — Contraintes dans une pièce de plexiglas

Une pièce transparente isotrope devient biréfringente sous contrainte (loi de Brewster–Maxwell $n_1 - n_2 = C(\sigma_1 - \sigma_2)$, $C$ de l'ordre de quelques $10^{-12}\,\mathrm{Pa^{-1}}$ pour le verre et le PMMA, dix fois plus pour le polycarbonate et les résines époxy, matériaux de choix en photoélasticimétrie) : entre polariseur et analyseur croisés, en lumière blanche, on voit des franges isochromatiques (lieux d'égale différence de contraintes principales), d'autant plus serrées que le gradient de contrainte est élevé, et des isoclines sombres (lieux où une contrainte principale est parallèle au polariseur), que l'on supprime en encadrant la pièce par deux lames $\lambda/4$ croisées (polariscope circulaire). Charger progressivement une équerre ou un crochet : les franges naissent aux points de concentration de contrainte. Une règle en plexiglas simplement posée montre ses contraintes résiduelles de fabrication.

Polariscope plan : source, polariseur, pièce de plexiglas chargée, analyseur croisé, écran ; franges isochromatiques

3. Modulation électro-optique et cristaux liquides¶

Expérience 12 — Effet Pockels (en réserve)

Dans un cristal sans centre de symétrie (KDP, $\ce{KH2PO4}$ ; LiNbO₃), un champ électrique statique induit une biréfringence linéaire en $E$ (effet Pockels) : $\Delta n \propto E$. Entre $P$ et $A$ croisés à 45° des lignes neutres, la transmission est $T = \sin^2(\varphi/2)$ avec $\varphi = \pi V/V_\pi$ ; une lame $\lambda/4$ ajoute $\pi/2$ et place le point de fonctionnement à mi-pente :

\[ T = \frac12\left[1 + \sin\left(\frac{\pi V}{V_\pi}\right)\right] \approx \frac12 + \frac{\pi}{2}\frac{V}{V_\pi}, \]

modulateur linéaire d'amplitude (transmission d'un signal audio sur un faisceau laser) ou obturateur rapide ($< 1\,\mathrm{ns}$). Pour le KDP en modulation longitudinale, $V_\pi = \lambda_0/(2n_o^3 r_{63}) \approx 7{,}5\,\mathrm{kV}$ à 546 nm ($n_o = 1{,}51$, $r_{63} = 10{,}5\,\mathrm{pm\cdot V^{-1}}$) : haute tension et précautions.

Modulateur de Pockels : laser, polariseur, cellule KDP sous tension, lame quart d'onde, analyseur, photodiode, et fonction de transfert

Cristaux liquides, cinéma 3D, astrophysique

Écran LCD : une cellule nématique torsadée entre polariseurs croisés guide la polarisation sur 90° (transmission) ; une tension de quelques volts aligne les molécules et supprime la rotation (extinction). Un polaroïd tourné devant un écran d'ordinateur le montre immédiatement.
Cinéma 3D : les deux images sont projetées en polarisations circulaires gauche et droite ; les lunettes (lame $\lambda/4$ + polaroïd) séparent les vues, en tolérant l'inclinaison de la tête, contrairement aux polarisations rectilignes croisées.
Effet Faraday : rotation $\theta = \mathcal{V}B\ell$ en présence d'un champ magnétique le long de la propagation ; contrairement au pouvoir rotatoire naturel, l'effet est non réciproque (il se cumule à l'aller et au retour) : isolateurs optiques.
Astrophysique : polarisation de la lumière des étoiles par les grains de poussière alignés sur le champ magnétique galactique, rayonnement synchrotron, polarisation du fond diffus cosmologique.

Conclusion¶

Le montage parcourt l'ensemble des façons de produire et d'analyser une polarisation : par projection (antenne, grille, polaroïd), par sélection (Brewster, diffusion), par biréfringence (lames, pouvoir rotatoire, contraintes, champ électrique). Deux mesures quantitatives s'y prêtent particulièrement bien, la loi de Malus (régression linéaire, discussion du résiduel) et l'angle de Brewster (incertitude de type A, propagation sur l'indice) ; la loi de Biot fournit une troisième mesure et une application concrète. Dans toutes, la question clé posée par le jury sera celle du détecteur (linéarité, soustraction du noir) et celle du repérage d'un minimum, qu'il faut encadrer plutôt que viser.

Annexes¶

A. Coefficients de Fresnel pour la polarisation p¶

Dérivation

Milieux diélectriques linéaires, homogènes, isotropes, non magnétiques, non chargés. Les relations de passage s'écrivent $\vec{n}_{12}\times(\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = \vec{0}$, $\vec{n}_{12}\times(\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{0}$ (avec $\vec{H} = \vec{B}/\mu_0$), $\vec{n}_{12}\cdot(\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = 0$ avec $\vec{D} = \varepsilon_0 n^2\vec{E}$, et $\vec{n}_{12}\cdot(\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0$. Pour la polarisation $p$ ($\vec{E}$ dans le plan d'incidence, $\vec{B}$ perpendiculaire), avec les amplitudes $E_i$, $rE_i$, $tE_i$ :

\[ \begin{aligned} \text{continuité de } E_\parallel : \quad & (1 + r)\cos\theta_i = t\cos\theta_t, \\ \text{continuité de } D_\perp : \quad & n_1^2(1 - r)\sin\theta_i = n_2^2\, t\sin\theta_t \iff n_1(1 - r) = n_2\, t , \end{aligned} \]

la seconde relation étant équivalente à la continuité de $H_\parallel$ ($B = nE/c$). On en tire

\[ r_p = \frac{n_1\cos\theta_t - n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}, \qquad t_p = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}. \]

Pour la polarisation $s$, la continuité de $E_\parallel$ et de $H_\parallel$ donne $r_s = (n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t)/(n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t)$. On vérifie $R + T = 1$ avec $T = \dfrac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,t^2$. Convention de signe : les vecteurs de base de la polarisation $p$ des ondes incidente et réfléchie sont choisis ici de sorte que $r_p = r_s$ en incidence normale, d'où $r_p = -\tan(\theta_i - \theta_t)/\tan(\theta_i + \theta_t)$. Born & Wolf et Hecht orientent le champ réfléchi en sens inverse et écrivent $r_p = \tan(\theta_i - \theta_t)/\tan(\theta_i + \theta_t)$, de signe opposé ($r_p = -r_s$ en incidence normale), ce qui ne change ni $R_p$ ni l'angle de Brewster.

B. Rayonnement dipolaire et diffusion Rayleigh¶

Résultats

Un dipôle $\vec{p}(t) = p_0\cos(\omega t)\,\vec{e}_z$ ($a \ll \lambda$) crée, dans la zone de rayonnement $r \gg \lambda$,

\[ \vec{E} = -\frac{\mu_0\,\ddot{p}(t - r/c)\,\sin\theta}{4\pi r}\,\vec{e}_\theta, \qquad \vec{B} = \frac{1}{c}\,\vec{e}_r\times\vec{E}, \qquad \langle\vec{\Pi}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4\sin^2\theta}{32\pi^2 c\,r^2}\,\vec{e}_r, \]

d'où la puissance rayonnée $\langle P\rangle = \dfrac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{12\pi c}$ et le gain $G(\theta) = 4\pi r^2\langle\Pi\rangle/\langle P\rangle = \tfrac32\sin^2\theta$. Le champ est polarisé rectilignement selon $\vec{e}_\theta$, dans le plan contenant $\vec{p}$ et la direction d'observation.

Électron élastiquement lié. Avec $m\ddot{z} + (m/\tau)\dot{z} + m\omega_0^2 z = -eE_m\cos\omega t$, l'amplitude du dipôle induit est $p_0 = e^2E_m/\big(m\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2}\big)$ et la puissance diffusée rapportée au flux incident $c\varepsilon_0E_m^2/2$ définit la section efficace

\[ \sigma(\omega) = \sigma_{\mathrm{T}}\,\frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2}, \qquad \sigma_{\mathrm{T}} = \frac{8\pi}{3}r_e^2 = 6{,}65\times10^{-29}\,\mathrm{m^2}, \]

avec $r_e = e^2/(4\pi\varepsilon_0 mc^2)$. Si $\omega \ll \omega_0$ (visible, résonances dans l'ultraviolet) : $\sigma \approx \sigma_{\mathrm{T}}(\omega/\omega_0)^4 \propto \lambda^{-4}$, c'est la diffusion Rayleigh ; si $\omega \gg \omega_0$ : diffusion de Thomson. La polarisation de la lumière diffusée est celle du rayonnement dipolaire : totale à 90°.

C. Ellipse de polarisation et action d'une lame¶

Calcul

De $E_x = E_{0x}\cos\omega t$ et $E_y = E_{0y}\cos(\omega t - \varphi) = E_{0y}(\cos\omega t\cos\varphi + \sin\omega t\sin\varphi)$ : $E_y/E_{0y} - (E_x/E_{0x})\cos\varphi = \sin\omega t\sin\varphi$ ; en élevant au carré et en ajoutant $(E_x/E_{0x})^2\sin^2\varphi = \cos^2\omega t\sin^2\varphi$ on obtient l'équation de l'ellipse. Pour une lame de lignes neutres $u$ (rapide) et $v$ (lent) et une vibration incidente inclinée de $\alpha$, $E_{0u} = E_0\cos\alpha$, $E_{0v} = E_0\sin\alpha$ et $\varphi = 2\pi(n_v - n_u)e/\lambda_0$ ; $\varphi = \pi$ (demi-onde) donne $E_v/E_u = -\tan\alpha$, vibration symétrique ; $\varphi = \pi/2$ et $\alpha = \pi/4$ (quart d'onde) donnent $E_u^2 + E_v^2 = E_0^2/2$, cercle.

D. Méthode de Sénarmont : calcul¶

Calcul

Polariseur selon $y$, lame $C$ de déphasage $\varphi$ et de lignes neutres $\vec{e}_u = (\vec{e}_x + \vec{e}_y)/\sqrt2$, $\vec{e}_v = (-\vec{e}_x + \vec{e}_y)/\sqrt2$. En notation complexe ($e^{-i\omega t}$ omis), l'onde incidente $E_0\vec{e}_y = \tfrac{E_0}{\sqrt2}(\vec{e}_u + \vec{e}_v)$ devient à la sortie $\tfrac{E_0}{\sqrt2}(\vec{e}_u + e^{i\varphi}\vec{e}_v)$, soit dans la base $(x,y)$ :

\[ \underline{E}_x = \frac{E_0}{2}\left(1 - e^{i\varphi}\right) = -i E_0\sin\frac{\varphi}{2}\,e^{i\varphi/2}, \qquad \underline{E}_y = \frac{E_0}{2}\left(1 + e^{i\varphi}\right) = E_0\cos\frac{\varphi}{2}\,e^{i\varphi/2}. \]

Les deux composantes sont en quadrature : vibration elliptique d'axes $x$ et $y$, de demi-axes $E_0\lvert\sin(\varphi/2)\rvert$ et $E_0\lvert\cos(\varphi/2)\rvert$. La lame $\lambda/4$ d'axes $x$, $y$ multiplie $\underline{E}_x$ par $\pm i$ : les composantes deviennent en phase (ou en opposition), la vibration est rectiligne et inclinée sur $y$ de $\theta$ tel que $\tan\theta = \mp\tan(\varphi/2)$, soit $\theta = \mp\varphi/2$. L'extinction de l'analyseur croisé est obtenue après une rotation $\theta$ : $\varphi = 2\theta$.

E. La photodiode comme détecteur linéaire¶

Caractéristique

Une photodiode est une jonction $p$-$n$ dans laquelle les photons d'énergie $h\nu > E_g$ ($E_g = 1{,}12\,\mathrm{eV}$ pour le silicium, $\lambda < 1{,}1\,\mathrm{µm}$) créent des paires électron-trou, séparées par le champ de la zone de charge d'espace. Sa caractéristique est

\[ I = I_s\left(e^{U/U_T} - 1\right) - I_{\mathrm{ph}}, \qquad U_T = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{e} \approx 26\,\mathrm{mV}, \qquad I_{\mathrm{ph}} = \eta\,\frac{e}{h\nu}\,\Phi , \]

où $\Phi$ est le flux reçu et $\eta$ le rendement quantique ($0{,}6$ à $0{,}9$ pour le silicium dans le visible), soit une sensibilité $\eta e/(h\nu) \approx 0{,}3$ à $0{,}5\,\mathrm{A\cdot W^{-1}}$ ($0{,}4\,\mathrm{A\cdot W^{-1}}$ à 633 nm). En court-circuit ou polarisée en inverse, $I \approx -I_{\mathrm{ph}}$ est proportionnel au flux ; à vide, $U_{\mathrm{oc}} = U_T\ln(1 + I_{\mathrm{ph}}/I_s)$ est logarithmique. Avec une résistance de charge $R$, la tension $U = RI_{\mathrm{ph}}$ reste linéaire tant que $U$ reste petite devant la tension de polarisation inverse (ou, sans polarisation, $U \lesssim 0{,}1\,\mathrm{V}$ : la diode ne doit pas conduire), c'est-à-dire tant que la droite de charge coupe la zone horizontale des caractéristiques.

F. Questions classiques du jury¶

Un polaroïd absorbe-t-il ou réfléchit-il la composante bloquée ?

Il l'absorbe (chaînes de polyiodure résistives : les électrons entraînés dissipent par effet Joule), d'où l'échauffement. La grille hyperfréquence, en bon conducteur, la réfléchit. Un polariseur à réflexion (empilement de lames à Brewster) ou un cube séparateur de polarisation la renvoie de côté.

Que donne la loi de Malus avec de la lumière naturelle ?

$I = I_0/2$ quelle que soit l'orientation : la moyenne de $\cos^2$ sur toutes les directions incidentes vaut $1/2$. Une lumière circulaire donne le même résultat : l'analyseur seul ne les distingue pas, il faut la lame $\lambda/4$.

Existe-t-il un angle de Brewster en réflexion métallique ?

Non : les coefficients de Fresnel sont complexes (indice $n + i\kappa$), $\lvert r_p\rvert$ passe par un minimum non nul (angle principal) et la lumière réfléchie est elliptique. C'est la base de l'ellipsométrie, qui mesure $n$ et $\kappa$ ou l'épaisseur d'une couche mince.

Pourquoi la lumière diffusée par le ciel n'est-elle pas totalement polarisée à 90° ?

Diffusions multiples, anisotropie de polarisabilité des molécules (dépolarisation de quelques %), aérosols (Mie), réflexion par le sol : $P \approx 0{,}7$ au mieux. Les abeilles et de nombreux insectes utilisent cette polarisation pour s'orienter.

Comment distinguer une circulaire gauche d'une circulaire droite ?

Avec une $\lambda/4$ dont on connaît l'axe lent : la rectiligne obtenue est à $+45°$ ou $-45°$ de cet axe selon le sens. Autre méthode : deux circulaires de sens opposés passant par une même $\lambda/4$ donnent des rectilignes orthogonales.

Pourquoi une lame d'ordre multiple est-elle « chromatique » ?

$\varphi = 2\pi\Delta n\,e/\lambda_0$ : pour $e\Delta n = (m + 1/4)\lambda_0$, une variation relative $\delta\lambda/\lambda$ change $\varphi$ de $-(m + 1/4)2\pi\,\delta\lambda/\lambda$, d'autant plus que $m$ est grand ; pour une variation de $10\,\%$ de $\lambda$, une lame d'ordre zéro ($m = 0$) s'écarte de $10\,\%$ de son déphasage nominal, une lame $m = 10$ de $100\,\%$. Les lames « achromatiques » combinent deux matériaux (quartz et MgF₂).

Quelle est l'origine microscopique du pouvoir rotatoire ?

La chiralité des molécules (ou de la maille, pour le quartz) : l'onde circulaire gauche et l'onde circulaire droite induisent des réponses différentes (couplage entre dipôle électrique et dipôle magnétique induits), donc $n_G \neq n_D$. Une solution de molécules chirales conserve l'effet en moyenne sur les orientations ; un mélange racémique l'annule.

En quoi l'effet Faraday diffère-t-il du pouvoir rotatoire naturel ?

Le sens de rotation de Faraday est fixé par $\vec{B}$, pas par le sens de propagation : un aller-retour double la rotation (non-réciprocité, exploitée dans les isolateurs optiques), alors que le pouvoir rotatoire naturel s'annule à l'aller-retour.

Quel lien entre polarisation circulaire et photon ?

Une onde circulaire transporte un moment cinétique $\pm\hbar$ par photon le long de $\vec{k}$ (hélicité $\pm 1$). Beth (1936) l'a mesuré en détectant le couple exercé sur une lame demi-onde suspendue par un fil de torsion : transformer une circulaire gauche en droite transfère $2\hbar$ par photon à la lame.

Comment vérifier qu'une photodiode est linéaire ?

Mesurer $U$ en fonction du nombre de densités neutres identiques interposées (loi exponentielle attendue), ou en fonction de la distance d'une source ponctuelle (loi en $1/d^2$), ou avec deux polariseurs (loi de Malus elle-même, si l'on fait confiance aux polariseurs : raisonnement circulaire à éviter devant le jury).

Corrections apportées par rapport aux notes manuscrites

Le pas de la grille doit être petit devant $\lambda$, non « de l'ordre de » $\lambda$.
La composante parallèle aux fils est réfléchie par la grille (courants induits), non « dissipée sous forme thermique » ; pour le polaroïd c'est l'absorption qui domine.
Transmittances des polaroïds précisées par famille de films ($k_1$ de 0,5 à 0,8, $k_2$ de $10^{-5}$ à quelques $10^{-3}$) : les valeurs « 0,5 et 0,0002 » des notes correspondent à un film dense (type HN22–HN32) ; historique de Land précisé (1929/1938).
Incertitude de type A sur $\theta_B$ : $s/\sqrt{N} = 0{,}26°$ (et non 0,36°), incertitude élargie avec $t_{95} = 3{,}18$ ; l'indice $1{,}47 \pm 0{,}05$ ne discrimine pas borosilicate et crown.
Soleil couchant : cause principale Rayleigh sur un long trajet, Mie en renfort ; ciel bleu dû aux molécules, pas aux poussières.
Convention gauche/droite explicitée (observateur recevant l'onde).
Écriture correcte $\vec{D} = \varepsilon_0 n^2\vec{E}$ et relations de passage sur $\vec{H}_\parallel$ ; domaines de validité du rayonnement dipolaire ($a \ll \lambda$, zone $r \gg \lambda$).
Photodiode : seule la mesure du courant est linéaire, point ajouté aux pièges.
Notation unifiée du déphasage d'une lame, $\varphi = 2\pi(n_{\mathrm{lent}} - n_{\mathrm{rapide}})e/\lambda_0$.
Effet Pockels : signe du point de fonctionnement conventionnel, ordre de grandeur de $V_\pi$ ajouté.
Relecture scientifique indépendante : convention de signe des coefficients de Fresnel correctement attribuée (Born & Wolf et Hecht utilisent le signe opposé à celui adopté ici), constante photoélastique du PMMA ramenée à son ordre de grandeur (quelques $10^{-12}\,\mathrm{Pa^{-1}}$), sensibilité de la photodiode distinguée du rendement quantique, coefficient de température du pouvoir rotatoire donné en ordre de grandeur, écart borosilicate/crown exprimé en nombre d'incertitudes-types.

Le détail (citation des notes, correction, justification, référence) figure dans le fichier sources/corrections.md du dossier LaTeX.

Bibliographie¶

Sextant, Optique expérimentale, Hermann, 1997 — chap. « Polarisation » : montages, Malus, Brewster, lames, Sénarmont.¹
R. Duffait, Expériences d'optique — agrégation de physique, Bréal, 1997 — p. 190 : analyse d'une polarisation ; diffusion ; saccharimétrie.
J.-P. Pérez, Optique, fondements et applications, Dunod, 7ᵉ éd. — chap. « Polarisation », « Biréfringence », « Pouvoir rotatoire ».
E. Hecht, Optics, Pearson, 5ᵉ éd. — chap. 8 (polarisation), § 4.6 (Fresnel), § 8.3 (polariseurs à fils et dichroïsme).
G. Bruhat, Optique, Masson, 6ᵉ éd. (révisée par A. Kastler) — conventions de polarisation, biréfringence.
P. Fleury, J.-P. Mathieu, Lumière, Eyrolles — pouvoir rotatoire, dispersion rotatoire.
M. Born, E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge UP, § 1.5 — coefficients de Fresnel.
C. F. Bohren, D. R. Huffman, Absorption and Scattering of Light by Small Particles, Wiley — Rayleigh et Mie ; D. K. Lynch, W. Livingston, Color and Light in Nature.
A. Yariv, Optical Electronics, chap. 9 — effet Pockels, $V_\pi$ du KDP.
E. H. Land, « Some aspects of the development of sheet polarizers », J. Opt. Soc. Am. 41, 957 (1951) ; R. A. Beth, « Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light », Phys. Rev. 50, 115 (1936).
JCGM 100:2008 (GUM), Évaluation des données de mesure — Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure.

Les expériences décrites ici reprennent, pour l'essentiel, celles proposées dans Sextant et Duffait ; les tableaux de valeurs « simulées » sont des ordres de grandeur réalistes destinés à préparer l'exploitation, et non des mesures effectuées pour cette page. Seules les quatre mesures de l'angle de Brewster sont un relevé réel. ↩