% M14-Polarisation.tex — Montage M14 : Polarisation des ondes électromagnétiques
% Notes de préparation à l'agrégation de physique, relues et complétées.
% Compilation : BeforeAdd/common/compile.sh M14-Polarisation/M14-Polarisation.tex (LuaLaTeX)
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\input{agreg-preamble}
\lecon{M14}{Polarisation des ondes électromagnétiques}
\montage
\niveau{Montage d'agrégation (épreuve de montage). Les concepts mobilisés relèvent de la licence
	(L2--L3) et de la deuxième année de CPGE ; les exploitations utilisent la métrologie de niveau
	licence (incertitudes de type A et B, régression linéaire).}
\prerequis{Ondes électromagnétiques planes dans le vide et dans un diélectrique linéaire ; équations
	de Maxwell et relations de passage ; lois de Snell--Descartes ; rayonnement du dipôle oscillant ;
	notions de métrologie.}
\leconbiblio{Sextant, \emph{Optique expérimentale}, Hermann, chap.\ « Polarisation » ;
	R.~Duffait, \emph{Expériences d'optique -- agrégation de physique}, Bréal ;
	J.-P.~Pérez, \emph{Optique, fondements et applications}, Dunod ;
	E.~Hecht, \emph{Optics}, Pearson, chap.\ 8 ;
	G.~Bruhat, \emph{Optique}, Masson ;
	P.~Fleury, J.-P.~Mathieu, \emph{Lumière}, Eyrolles ;
	M.~Born, E.~Wolf, \emph{Principles of Optics}, Cambridge UP, § 1.5 ;
	C.~Bohren, D.~Huffman, \emph{Absorption and Scattering of Light by Small Particles}, Wiley ;
	A.~Yariv, \emph{Optical Electronics}, chap.\ 9 (effet Pockels).}

\begin{document}
\maketitlelecon

\section*{Objectifs, fil conducteur et minutage}

Un montage n'est pas une leçon : il s'agit de \emph{montrer} des phénomènes, de les \emph{mesurer}
et de discuter la qualité des mesures. Le fil conducteur retenu est celui des notes d'origine :
\begin{enumerate}
	\item \textbf{mettre en évidence} que le champ électrique d'une onde électromagnétique a une
	      direction, d'abord avec des ondes centimétriques (où l'on « voit » l'antenne), puis en optique ;
	\item \textbf{produire} une lumière polarisée rectilignement par dichroïsme, par réflexion vitreuse
	      et par diffusion, et \textbf{vérifier quantitativement} la loi de Malus et la loi de Brewster ;
	\item \textbf{produire et analyser} des polarisations circulaires et elliptiques avec des lames
	      biréfringentes, puis \textbf{mesurer} un déphasage (méthode de Sénarmont) ;
	\item \textbf{appliquer} : pouvoir rotatoire (saccharimétrie), photoélasticité, modulation
	      électro-optique.
\end{enumerate}

\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={X[1.1,l] X[2.6,l] X[0.5,c]}, width=0.98\linewidth, hlines, vlines,
			row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, cells={valign=m}, rowsep=3pt}
		Partie & Expérience présentée (les autres sont « en réserve ») & Durée \\
		II -- Hyperfréquences & Rotation du récepteur ; grille polarisante (loi de Malus en hyperfréquences) & \qty{5}{min} \\
		III -- Loi de Malus & Polariseur, analyseur, photodiode : $U(\theta)$, régression sur $\cos^2\theta$ & \qty{8}{min} \\
		IV -- Brewster & Mesure de $\theta_B$ au goniomètre, incertitude de type A, indice du verre & \qty{8}{min} \\
		V -- Diffusion & Lumière diffusée à $90^\circ$ par une cuve d'eau laiteuse : polarisation, bleu/rouge & \qty{4}{min} \\
		VI -- Biréfringence & Lame $\lambda/4$ : production d'une polarisation circulaire ; analyse d'une polarisation inconnue & \qty{8}{min} \\
		VII -- Applications & Pouvoir rotatoire du saccharose : loi de Biot, incertitudes & \qty{7}{min} \\
		\SetCell[c=2]{l} Total (présentation de 40 min) & & \qty{40}{min} \\
	\end{tblr}
\end{center}

\paragraph{Matériel.}
Banc hyperfréquences (émetteur à diode Gunn $\approx\qty{9.4}{GHz}$, récepteur à diode, grille
métallique, voltmètre) ; lampe quartz-iode (QI) avec condenseur, diaphragme, filtre interférentiel ou
coloré ; laser He-Ne (\qty{633}{nm}) ; lampe à vapeur de sodium ; polaroïds sur montures graduées
(au moins trois) ; lames $\lambda/4$ et $\lambda/2$ (pour \qty{633}{nm} et pour \qty{589}{nm}) ;
goniomètre avec plateau gradué ; lame de verre à faces parallèles ; cuve en verre, lait ou
thiosulfate de sodium et acide chlorhydrique dilué ; rhomboèdre de spath ; tubes de saccharimètre
(\qty{1}{dm} et \qty{2}{dm}), saccharose, balance, fioles jaugées ; pièce de plexiglas et dispositif
de mise en contrainte ; photodiode avec résistance de charge, voltmètre ; éventuellement cellule de
Pockels (KDP) et générateur haute tension, cellule à cristaux liquides.

\begin{attention}[Sécurité]
	Laser de classe 2 : ne jamais regarder le faisceau ni ses réflexions spéculaires (la lame de
	Brewster renvoie un faisceau vers la salle : placer l'écran avant d'allumer). Lampe QI :
	surfaces chaudes, ne pas toucher l'ampoule. Haute tension de la cellule de Pockels : montage
	vérifié hors tension, câbles blindés.
\end{attention}

% =====================================================================
\section{Décrire la polarisation d'une onde}

\subsection{Onde plane progressive et transversalité}

Dans le vide, les équations de Maxwell imposent à une onde plane progressive monochromatique de
vecteur d'onde $\vec{k} = k\,\uvec{z}$ d'être transverse : $\vec{k}\cdot\vec{E} = 0$ et
$\vec{B} = \vec{k}\times\vec{E}/\omega$. Le champ électrique le plus général s'écrit donc
\begin{equation}
	\vec{E}(z,t) = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\uvec{x} + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\uvec{y},
	\label{eq:onde}
\end{equation}
où $\varphi$ est le \emph{retard de phase} de la composante $y$ sur la composante $x$. Le champ
$\vec{B}$ se déduit de $\vec{E}$ : décrire la polarisation, c'est décrire la courbe que trace
l'extrémité de $\vec{E}$ dans le plan d'onde, au cours du temps, en un point fixe.

\begin{definition}[État de polarisation]
	L'\textbf{état de polarisation} d'une onde plane monochromatique est la courbe décrite par
	l'extrémité du vecteur $\vec{E}(t)$ dans le plan transverse, en un point donné, avec son sens de
	parcours. Pour l'onde \eqref{eq:onde}, en éliminant le temps,
	\begin{equation}
		\frac{E_x^2}{E_{0x}^2} + \frac{E_y^2}{E_{0y}^2} - \frac{2E_xE_y}{E_{0x}E_{0y}}\cos\varphi = \sin^2\varphi :
		\label{eq:ellipse}
	\end{equation}
	c'est une \textbf{ellipse} inscrite dans le rectangle $[-E_{0x},E_{0x}]\times[-E_{0y},E_{0y}]$.
\end{definition}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/etats-polarisation.pdf}
	\caption{États de polarisation d'une onde plane, vus par un observateur qui reçoit l'onde.}
	\label{fig:etats}
\end{figure}

\subsection{Les cas particuliers utiles}

\begin{propriete}[Polarisations rectiligne, circulaire, elliptique]
	\begin{itemize}
		\item $\varphi = 0$ ou $\pi$ : l'ellipse dégénère en un segment, la polarisation est
		      \textbf{rectiligne}, inclinée de $\alpha$ sur $Ox$ avec $\tan\alpha = \pm E_{0y}/E_{0x}$.
		\item $\varphi = \pm\pi/2$ et $E_{0x} = E_{0y}$ : \textbf{circulaire}.
		\item Tout autre cas : \textbf{elliptique}. Les axes de l'ellipse sont le long de $Ox$ et $Oy$
		      si et seulement si $\varphi = \pm\pi/2$.
	\end{itemize}
	\textbf{Sens de parcours.} Pour un observateur qui \emph{reçoit} l'onde ($\vec{k}$ dirigé vers
	lui), la polarisation est dite \textbf{gauche} si $\vec{E}$ tourne dans le sens trigonométrique
	($0 < \varphi < \pi$ avec la convention \eqref{eq:onde}) et \textbf{droite} s'il tourne dans le
	sens horaire ($-\pi < \varphi < 0$).
\end{propriete}

\begin{demonstration}[Sens de rotation]
	À $t = 0$, $\vec{E} = (E_{0x}, E_{0y}\cos\varphi)$ et
	$\dot{\vec{E}} = (0,\ \omega E_{0y}\sin\varphi)$ : si $\sin\varphi > 0$, le vecteur situé sur le
	bord droit du rectangle ($E_x = E_{0x}$) monte, donc tourne dans le sens trigonométrique vu de
	l'observateur qui reçoit l'onde (axe $z$ pointant vers lui).
\end{demonstration}

\begin{attention}[Conventions]
	Cette convention (Bruhat, Pérez, Hecht) est celle de l'optique : « droite » = sens horaire pour
	l'observateur qui reçoit l'onde. En physique des particules, on parle d'\emph{hélicité} : une
	onde circulaire gauche au sens optique porte une hélicité \emph{positive} (moment cinétique
	$+\hbar$ par photon selon $\vec{k}$). Toujours annoncer la convention adoptée devant le jury.
\end{attention}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/helice-circulaire.pdf}
	\caption{Photographie à $t = 0$ des deux ondes circulaires : l'extrémité de $\vec{E}$ décrit une
		hélice de pas $\lambda$.}
	\label{fig:helice}
\end{figure}

\begin{remarque}[vecteurs de Jones]
	En notation complexe, $\ul{\vec{E}} = \ee^{\ii(kz - \omega t)}\binom{E_{0x}}{E_{0y}\ee^{\ii\varphi}}$.
	Le vecteur colonne normalisé est le \emph{vecteur de Jones} : $\binom{1}{0}$ (rectiligne selon
	$x$), $\tfrac{1}{\sqrt2}\binom{1}{\pm\ii}$ (circulaires). Polariseurs et lames sont des matrices
	$2\times2$ ; par exemple une lame de retard $\varphi$ d'axes $x,y$ est $\mathrm{diag}(1, \ee^{\ii\varphi})$.
	Ce formalisme rend mécaniques les calculs de la partie~\ref{sec:birefringence}.
\end{remarque}

\subsection{Lumière naturelle et lumière partiellement polarisée}

Une source thermique émet des trains d'ondes brefs (temps de cohérence de l'ordre de $10^{-14}\,\si{s}$ en
lumière blanche, jusqu'à $10^{-9}\,\si{s}$ pour une raie spectrale) dont la
polarisation change aléatoirement d'un train à l'autre : à l'échelle d'un détecteur, tous les états
se succèdent avec la même probabilité. C'est la \textbf{lumière naturelle} (non polarisée). Un
polariseur idéal en transmet la moitié de l'intensité, quelle que soit son orientation. Entre les
deux extrêmes, on définit le \emph{degré de polarisation} $P = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})$
mesuré en tournant un analyseur ($P = 1$ pour une rectiligne, $P = 0$ pour la lumière naturelle ou
circulaire : l'analyseur seul ne les distingue pas, cf.\ partie~\ref{sec:birefringence}, § \ref{sec:analyse}).

\begin{transition}
	Le vecteur $\vec{E}$ a une direction : encore faut-il le montrer. Les ondes centimétriques, dont la
	longueur d'onde est à l'échelle de la main, sont l'outil le plus parlant.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Mise en évidence avec des ondes centimétriques}

\subsection{Le banc hyperfréquences}

\begin{experience}[1 -- Rotation du récepteur]
	\textbf{Matériel.} Émetteur à diode Gunn ($f \approx \qty{9.4}{GHz}$, $\lambda = c/f \approx
		\qty{3.2}{cm}$) muni d'un cornet ; récepteur à diode de détection dans un cornet identique,
	monté sur un support tournant autour de l'axe émetteur-récepteur ; voltmètre continu.

	\textbf{Protocole.} Aligner les deux cornets à \qty{40}{cm} environ, régler le gain pour une tension
	$U_0$ de quelques volts. Tourner le récepteur d'un angle $\psi$ autour de l'axe par pas de
	$15^\circ$ et relever $U(\psi)$.

	\textbf{Observation attendue.} $U$ décroît, s'annule pour $\psi = 90^\circ$, remonte jusqu'à
	$U_0$ à $180^\circ$. Aux faibles niveaux la diode est quadratique ($U \propto \overline{E^2}$) :
	$U(\psi) \approx U_0\cos^2\psi$.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/hyperfrequences-montage.pdf}
	\caption{Banc hyperfréquences : l'antenne du récepteur ne capte que la composante de $\vec{E}$
		parallèle à son brin ; la grille ne transmet que la composante perpendiculaire aux fils.}
	\label{fig:hyper}
\end{figure}

\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={X[l] *{7}{X[c]}}, width=0.9\linewidth, hlines, vlines,
			row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
		$\psi$ ($^\circ$) & 0 & 15 & 30 & 45 & 60 & 75 & 90 \\
		$U/U_0$ attendu ($\cos^2\psi$) & 1 & 0,93 & 0,75 & 0,50 & 0,25 & 0,07 & 0 \\
	\end{tblr}
\end{center}
\noindent (Valeurs typiques : la courbe réelle s'écarte de $\cos^2\psi$ près des maxima si la diode
quitte son régime quadratique.)

Cette expérience ne se comprend pas avec une onde scalaire : l'antenne, un brin conducteur, n'est
sensible qu'à la projection de $\vec{E}$ sur sa direction. L'onde émise par la diode Gunn est
\textbf{polarisée rectilignement}, parallèlement au brin de l'antenne émettrice.

\subsection{La grille polarisante : loi de Malus en hyperfréquences}

\begin{experience}[2 -- Grille métallique]
	\textbf{Protocole.} Émetteur et récepteur alignés (brins verticaux). Interposer une grille de
	fils métalliques parallèles, de pas $d \approx \qty{1}{cm}$ :
	\begin{enumerate}
		\item fils \textbf{parallèles} à $\vec{E}$ (verticaux) : $U \approx 0$, l'onde est bloquée ;
		\item fils \textbf{perpendiculaires} à $\vec{E}$ : $U \approx U_0$, l'onde passe ;
		\item fils à $45^\circ$ : $U \approx U_0/4$ ;
		\item récepteur tourné de $90^\circ$ ($U = 0$) puis grille à $45^\circ$ : $U$ remonte à $U_0/4$.
	\end{enumerate}
\end{experience}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/grille-decomposition.pdf}
	\caption{Action de la grille : la composante de $\vec{E}$ parallèle aux fils met en mouvement les
		électrons de conduction ; les courants induits rayonnent une onde qui annule l'onde
		transmise (réflexion). La composante perpendiculaire traverse.}
	\label{fig:grille}
\end{figure}

\begin{propriete}[Loi de Malus]
	Un polariseur rectiligne d'axe de transmission $\vec{u}$ transmet, d'une onde polarisée
	rectilignement selon $\vec{w}$ avec $(\vec{u},\vec{w}) = \alpha$, le champ $E_t = E_0\cos\alpha$
	et donc l'intensité
	\begin{equation}
		I_t = I_0\cos^2\alpha .
		\label{eq:malus}
	\end{equation}
\end{propriete}

Le cas 3 ci-dessus s'interprète en appliquant deux fois la loi : $E_0\cos45^\circ$ transmis par la
grille, puis projeté sur l'antenne réceptrice, $E_0\cos^2 45^\circ = E_0/2$, soit $U_0/4$. Le cas 4
est le classique « troisième polariseur entre deux polariseurs croisés » : la grille à $45^\circ$
\emph{fait tourner} la direction de polarisation et rétablit un signal.

\begin{odg}[Hyperfréquences]
	$f = \qty{9.4}{GHz}$, $\lambda = \qty{3.2}{cm}$ ; pas de la grille $d \approx \qty{1}{cm} \approx \lambda/3$ ;
	taux d'extinction d'une bonne grille $> 100$ ; puissance émise $\sim \qty{10}{mW}$ ; détection
	quadratique en dessous de $\sim\qty{100}{\micro W}$ reçus.
\end{odg}

\begin{jury}[Pourquoi le pas de la grille doit-il être petit devant la longueur d'onde ?]
	Si $d \gtrsim \lambda$, l'onde « passe entre les fils » pour les deux polarisations (la grille
	diffracte comme un réseau). Si $d \ll \lambda$, la grille se comporte comme une surface continue
	pour la composante $\parallel$ aux fils (réflexion quasi totale, comme un miroir métallique) et
	comme du vide pour la composante $\perp$, les électrons ne pouvant pas circuler transversalement
	sur un fil mince. Les notes d'origine indiquaient « un pas de l'ordre de $\lambda$ » : c'est
	précisément la limite à éviter.
\end{jury}

\begin{transition}
	En optique ($\lambda \approx \qty{0.5}{\micro m}$), la « grille » est une feuille de polymère dont
	les chaînes étirées jouent le rôle des fils : c'est le polaroïd. Reste à vérifier la loi de Malus
	avec un vrai détecteur quantitatif.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Polariseurs dichroïques et loi de Malus}

\subsection{Les polaroïds}

\begin{histoire}
	Edwin Land brevette en 1929 le premier polariseur en feuille (film « J », microcristaux
	d'hérapathite alignés) et le commercialise dès 1932 ; le film « H » (alcool polyvinylique étiré
	puis dopé à l'iode), toujours utilisé, date de 1938. Les chaînes de polyiodure conductrices
	absorbent la composante de $\vec{E}$ parallèle aux chaînes : l'axe de transmission est
	\emph{perpendiculaire} à l'étirement. On parle de \textbf{dichroïsme} (absorption sélective
	selon la polarisation).
\end{histoire}

\begin{odg}[Polaroïd H]
	Transmittances principales des films H (Polaroid) : $k_1 \approx 0{,}5$ à $0{,}8$ pour une vibration selon
	l'axe de transmission et $k_2$ de $\sim 10^{-5}$ (HN22) à quelques $10^{-3}$ (HN38) selon l'axe bloquant :
	plus un film transmet, moins il éteint. Transmission de la lumière naturelle $(k_1 + k_2)/2 \approx 0{,}22$,
	$0{,}32$ ou $0{,}38$ selon le film (la limite idéale est $0{,}5$). Le taux d'extinction $k_1/k_2$, de $10^2$
	à $10^4$, se dégrade dans le bleu et dans le proche infrarouge : filtrer la lumière.
\end{odg}

\subsection{Vérification quantitative de la loi de Malus}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/malus-montage.pdf}
	\caption{Montage de la loi de Malus : la photodiode, chargée par une résistance $R$ faible, délivre
		une tension proportionnelle à l'éclairement.}
	\label{fig:malusmontage}
\end{figure}

\begin{experience}[3 -- Loi de Malus]
	\textbf{Matériel.} Lampe QI, condenseur, diaphragme, filtre (interférentiel \qty{546}{nm} ou
	coloré), polariseur $P$ et analyseur $A$ sur montures graduées au degré, lentille de
	focalisation, photodiode avec résistance de charge ($R \approx \qty{10}{k\ohm}$), voltmètre.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item Former un faisceau peu divergent, tout entier reçu par la photodiode ; vérifier que le
		      signal n'est pas saturé (il doit diminuer quand on diaphragme).
		\item Mesurer la tension d'obscurité $U_{\mathrm{obs}}$ (lampe cachée) et la soustraire.
		\item Croiser $P$ et $A$ (minimum de $U$) : ce repère vaut $\theta = 90^\circ$.
		\item Relever $U(\theta)$ tous les $10^\circ$ sur un tour complet (au moins 19 points sur
		      $180^\circ$ : « ne pas se contenter de 10 valeurs ») ; répéter trois fois quelques
		      positions pour estimer la dispersion.
	\end{enumerate}
	\textbf{Exploitation.} Tracer $U$ en fonction de $\cos^2\theta$ ; régression linéaire
	$U = a\cos^2\theta + b$ ; comparer $b$ à la tension résiduelle attendue (polaroïds imparfaits,
	lumière parasite).
\end{experience}

\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={X[c] X[c] X[c] | X[c] X[c] X[c]}, width=0.9\linewidth, hlines, vlines,
			row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
		$\theta$ ($^\circ$) & $\cos^2\theta$ & $U$ (V) & $\theta$ ($^\circ$) & $\cos^2\theta$ & $U$ (V) \\
		0 & 1,000 & 2,447 & 100 & 0,030 & 0,169 \\
		10 & 0,970 & 2,333 & 110 & 0,117 & 0,289 \\
		20 & 0,883 & 2,110 & 120 & 0,250 & 0,639 \\
		30 & 0,750 & 1,757 & 130 & 0,413 & 1,090 \\
		40 & 0,587 & 1,430 & 140 & 0,587 & 1,436 \\
		50 & 0,413 & 1,053 & 150 & 0,750 & 1,833 \\
		60 & 0,250 & 0,631 & 160 & 0,883 & 2,136 \\
		70 & 0,117 & 0,324 & 170 & 0,970 & 2,366 \\
		80 & 0,030 & 0,128 & 180 & 1,000 & 2,377 \\
		90 & 0,000 & 0,008 & & & \\
	\end{tblr}
\end{center}
\noindent\emph{Valeurs typiques simulées} ($U_0 = \qty{2.40}{V}$, résiduel \qty{30}{mV}, bruit
\qty{25}{mV}) : elles ne sont pas des mesures effectuées ici mais illustrent l'ordre de grandeur et
la dispersion que l'on obtient avec ce montage.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/malus-courbe.pdf}
	\caption{(a) Relevé $U(\theta)$ et courbe $U_{\min} + U_0\cos^2\theta$ ; (b) linéarisation et
		régression : pente $(2{,}36 \pm 0{,}02)\,\si{V}$, ordonnée à l'origine $(0{,}051 \pm 0{,}013)\,\si{V}$.}
	\label{fig:maluscourbe}
\end{figure}

\paragraph{Incertitudes.}
\begin{itemize}
	\item \textbf{Angle} (type B) : lecture au demi-degré sur une monture graduée, $u(\theta) =
		      0{,}5^\circ/\sqrt{3} \approx 0{,}3^\circ$, à laquelle s'ajoute l'incertitude de
	      \emph{repérage} du zéro (minimum plat de $\cos^2\theta$) : on retient $u(\theta) \approx 1^\circ$.
	      Propagée sur $x = \cos^2\theta$ : $u(x) = \abs{\sin 2\theta}\,u(\theta)$, maximale à $45^\circ$
	      ($\approx 0{,}017$) et nulle aux extrémités.
	\item \textbf{Tension} (type B, notice du voltmètre) : $\pm(0{,}5\,\% + 2\,\text{digits})$, soit
	      quelques mV ; la fluctuation de la lampe (type A, trois répétitions) domine souvent : $\approx
		      \qty{20}{mV}$.
	\item \textbf{Régression} : les incertitudes sur la pente et l'ordonnée à l'origine proviennent de
	      la dispersion des résidus ($u(a) = s_r/\sqrt{S_{xx}}$). Le coefficient $r^2 \approx 0{,}999$
	      est un indicateur de linéarité, pas une incertitude.
\end{itemize}

\begin{attention}[Pièges classiques]
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Linéarité du détecteur.} La tension \emph{à vide} d'une photodiode est
		      logarithmique en éclairement ; seul le \emph{courant} (court-circuit ou polarisation inverse,
		      $U = R\,I_{\mathrm{ph}}$ avec $R$ assez faible) est proportionnel à l'éclairement. Vérifier la
		      linéarité avec des densités neutres ou en doublant la distance source-détecteur (loi en $1/d^2$).
		\item \textbf{Saturation} de la photodiode ou de l'amplificateur aux forts éclairements : la
		      courbe s'aplatit près de $\theta = 0$.
		\item \textbf{Lumière blanche} : les polaroïds laissent passer le rouge profond et le bleu
		      ($k_2$ monte à $10^{-2}$ vers \qty{700}{nm}) ; le résiduel $b$ devient grand. Filtrer.
		\item \textbf{Excentricité} des montures : relever sur $360^\circ$ et moyenner $\theta$ et
		      $\theta + 180^\circ$.
		\item Un polaroïd \emph{absorbe} ; il chauffe et se dégrade devant une lampe QI non filtrée
		      (filtre anticalorique).
	\end{itemize}
\end{attention}

\begin{jury}[Pourquoi $\cos^2$ et pas $\cos$ ?]
	Le détecteur mesure une puissance, donc la moyenne temporelle de $E^2$, qui est quadratique en
	amplitude ; l'amplitude projetée vaut $E_0\cos\theta$ et l'intensité $I_0\cos^2\theta$. La
	moyenne de $\cos^2\theta$ sur toutes les orientations valant $1/2$, on retrouve qu'un polariseur
	transmet la moitié de la lumière naturelle.
\end{jury}

\begin{transition}
	Le polaroïd produit une polarisation rectiligne par absorption. La réflexion sur un diélectrique
	en produit une autre, par \emph{sélection} : c'est la polarisation par réflexion vitreuse, que
	l'on exploite pour mesurer un indice.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Polarisation par réflexion vitreuse : angle de Brewster}
\label{sec:brewster}

\subsection{Coefficients de Fresnel}

On considère une onde plane arrivant sous l'incidence $\theta_i$ sur le dioptre plan séparant deux
diélectriques non magnétiques d'indices $n_1$ et $n_2$ ; $\theta_t$ est l'angle de réfraction
($n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$). On décompose $\vec{E}$ sur la polarisation $s$
(perpendiculaire au plan d'incidence, notée $\perp$ dans les notes) et la polarisation $p$ (contenue
dans le plan d'incidence, $\parallel$). Les relations de passage (continuité de $\vec{E}_\parallel$,
de $\vec{H}_\parallel$ et de $D_\perp$, voir annexe~\ref{ann:fresnel}) donnent les coefficients de
réflexion en amplitude (convention d'orientation des champs précisée en annexe~\ref{ann:fresnel}) :
\begin{equation}
	r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}, \qquad
	r_p = \frac{n_1\cos\theta_t - n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}.
	\label{eq:fresnel}
\end{equation}
En incidence normale, $r_s = r_p = (n_1 - n_2)/(n_1+n_2) = -0{,}2$ pour le verre ($R = 4\,\%$) ; en
incidence rasante $|r| \to 1$.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fresnel-coefficients.pdf}
	\caption{Coefficients de Fresnel pour l'interface air/verre ($n = 1{,}5$) : $r_p$ s'annule à
		l'incidence de Brewster ; la lumière naturelle réfléchie y est totalement polarisée $s$, avec
		$R_s(\theta_B) = 14{,}8\,\%$.}
	\label{fig:fresnel}
\end{figure}

\begin{theoreme}[Loi de Brewster (1815)]
	Le coefficient $r_p$ s'annule lorsque $\theta_i + \theta_t = \pi/2$, c'est-à-dire pour
	l'incidence de Brewster
	\begin{equation}
		\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} .
		\label{eq:brewster}
	\end{equation}
	La lumière réfléchie est alors \textbf{polarisée rectilignement}, perpendiculairement au plan
	d'incidence ; le rayon réfléchi est perpendiculaire au rayon réfracté.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
	$r_p = 0 \iff n_1\cos\theta_t = n_2\cos\theta_i$. Avec $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$, en
	divisant membre à membre on obtient $\sin2\theta_t = \sin2\theta_i$, soit $\theta_t = \theta_i$ (exclu
	si $n_1 \neq n_2$) ou $\theta_i + \theta_t = \pi/2$. Alors $\cos\theta_t = \sin\theta_i$ et la loi
	de Snell--Descartes donne $n_1\sin\theta_i = n_2\cos\theta_i$, d'où \eqref{eq:brewster}.
\end{demonstration}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/brewster-geometrie.pdf}
	\caption{Interprétation microscopique : les dipôles induits dans le verre oscillent selon
		$\vec{E}_{t,p}$, c'est-à-dire \emph{le long} du rayon réfléchi, direction dans laquelle un
		dipôle ne rayonne pas.}
	\label{fig:brewstergeo}
\end{figure}

\begin{remarque}[interprétation physique]
	L'onde réfléchie est rayonnée par les dipôles induits dans le milieu~2. Pour la polarisation $p$,
	ces dipôles oscillent perpendiculairement au rayon réfracté ; quand celui-ci est perpendiculaire au
	rayon réfléchi, ils oscillent \emph{le long} de la direction de réflexion, où le diagramme de
	rayonnement d'un dipôle ($\propto\sin^2\theta$, annexe~\ref{ann:dipole}) s'annule. La polarisation
	$s$ n'a pas d'angle de Brewster : ses dipôles sont toujours perpendiculaires au plan d'incidence.
\end{remarque}

\subsection{Mesure de l'angle de Brewster et de l'indice du verre}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/brewster-montage.pdf}
	\caption{Montage sur goniomètre : le polariseur fixe $\vec{E}$ dans le plan d'incidence
		(horizontal) ; on cherche l'extinction du spot réfléchi.}
	\label{fig:brewstermontage}
\end{figure}

\begin{experience}[4 -- Angle de Brewster]
	\textbf{Matériel.} Laser He-Ne, polariseur, lame de verre sur le plateau gradué (vernier au
	$1'$) d'un goniomètre, écran ou photodiode.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item Orienter le polariseur pour que $\vec{E}$ soit dans le plan d'incidence (plan horizontal de
		      la table) : contrôler avec un second polaroïd que l'extinction est bonne, car un laser He-Ne
		      n'est que partiellement polarisé et sa polarisation peut dériver.
		\item Repérer la position $\alpha_{\mathrm{i}}$ du plateau pour laquelle le faisceau réfléchi
		      revient sur lui-même (incidence normale, lecture possible à l'autocollimation).
		\item Tourner le plateau jusqu'à l'\textbf{extinction} du spot réfléchi : $\alpha_{\mathrm{f}}$.
		      Le minimum étant plat, l'encadrer par deux positions de même éclairement et prendre le
		      milieu, ou utiliser la photodiode.
		\item $\theta_B = \alpha_{\mathrm{f}} - \alpha_{\mathrm{i}}$. Répéter $N$ fois en revenant
		      à zéro, sans mélanger les mesures de deux lames différentes.
	\end{enumerate}
\end{experience}

\paragraph{Mesures (relevé réel des notes d'origine, une lame).}
\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={X[c] X[c] X[c] X[c]}, width=0.8\linewidth, hlines, vlines,
			row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
		Mesure & $\alpha_{\mathrm{i}}$ & $\alpha_{\mathrm{f}}$ & $\theta_B = \alpha_{\mathrm{f}} - \alpha_{\mathrm{i}}$ \\
		1 & $100^\circ 0'$ & $156^\circ 0'$ & $56{,}00^\circ$ \\
		2 & $100^\circ 0'$ & $155^\circ 55'$ & $55{,}92^\circ$ \\
		3 & $100^\circ 0'$ & $155^\circ 0'$ & $55{,}00^\circ$ \\
		4 & $100^\circ 0'$ & $156^\circ 10'$ & $56{,}17^\circ$ \\
	\end{tblr}
\end{center}

\paragraph{Exploitation (incertitude de type A).}
Moyenne $\overline{\theta_B} = 55{,}77^\circ$ ; écart-type expérimental (estimateur non biaisé)
\[
	s = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(\theta_i - \overline{\theta_B}\right)^2} = 0{,}52^\circ
	\qquad\text{et}\qquad u(\theta_B) = \frac{s}{\sqrt{N}} = 0{,}26^\circ .
\] Pour un niveau de confiance de 95 \% avec
$N - 1 = 3$ degrés de liberté, le facteur de Student vaut $t_{95} = 3{,}18$, d'où l'incertitude
élargie $U = 0{,}83^\circ$ :
\[
	\boxed{\theta_B = (55{,}8 \pm 0{,}8)^\circ \quad (95\,\%)}
\]
puis, avec $n = \tan\theta_B$ et $u(n) = u(\theta_B)/\cos^2\theta_B$ (en radians),
\[
	\boxed{n = 1{,}47 \pm 0{,}05 \quad (95\,\%)}
\]

\begin{remarque}
	Les notes d'origine donnaient une incertitude-type de $0{,}36^\circ$ et $n = 1{,}48 \pm 0{,}05$ en
	utilisant $56^\circ$ : la valeur correcte de $s/\sqrt{N}$ est $0{,}26^\circ$ ; le résultat final
	est inchangé à l'arrondi près. En revanche, la mesure ne permet \emph{pas} de trancher entre un
	borosilicate ($n_D = 1{,}473$) et un crown ordinaire (N-BK7 : $n = 1{,}515$ à \qty{633}{nm}),
	les deux étant compris dans l'intervalle élargi à 95 \% (l'écart à 1,515 vaut environ $3u$) ; un angle plus précis demanderait une photodiode et un ajustement
	parabolique du minimum.
\end{remarque}

\begin{attention}[Pièges]
	\begin{itemize}
		\item Le minimum de $R_p$ est plat ($R_p \propto (\theta - \theta_B)^2$) : l'œil le place à
		      $\pm 1^\circ$ ; encadrer le minimum ou utiliser un détecteur.
		\item Une polarisation incidente imparfaitement $p$ laisse un résiduel $s$ réfléchi
		      ($R_s(\theta_B) \approx 15\,\%$) : pas d'extinction totale, seulement un minimum.
		\item La \textbf{face arrière} de la lame réfléchit aussi ; à l'incidence de Brewster, l'angle
		      interne $\theta_t$ est précisément l'angle de Brewster du dioptre verre $\to$ air
		      ($\tan\theta_t = n_1/n_2$) : les deux réflexions $p$ s'annulent ensemble, ce qui simplifie
		      l'observation.
		\item Plateau mal centré ou lame non verticale : le spot réfléchi monte ou descend quand on
		      tourne, l'angle lu n'est plus l'angle d'incidence.
	\end{itemize}
\end{attention}

\begin{exemple}[Applications]
	Lumière réfléchie par une étendue d'eau ($\theta_B = 53^\circ$) ou une vitre : fortement
	polarisée $s$ ; les lunettes de soleil polarisantes (axe de transmission vertical) suppriment ces
	reflets, et les photographes utilisent un filtre polarisant tournant. Les fenêtres de Brewster
	d'un laser He-Ne ne réfléchissent pas la polarisation $p$ : le laser oscille sur cette
	polarisation, d'où sa polarisation rectiligne.
\end{exemple}

\begin{transition}
	Le même rayonnement dipolaire qui explique Brewster explique pourquoi la lumière diffusée par de
	petites particules est polarisée.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Polarisation par diffusion}

\subsection{Diffusion de Rayleigh}

Une particule de taille $a \ll \lambda$ (molécule, gouttelette submicronique) soumise au champ
$\vec{E}$ de l'onde acquiert un moment dipolaire induit $\vec{p} = \alpha_{\mathrm{pol}}\varepsilon_0\vec{E}$
qui oscille à $\omega$ et rayonne (annexe~\ref{ann:dipole}) :
\begin{equation}
	\moy{\vec{\Pi}} = \frac{\mu_0\,p_0^2\,\omega^4\,\sin^2\theta}{32\pi^2 c\, r^2}\,\uvec{r},
	\qquad
	\sigma_{\mathrm{R}} \propto \frac{\omega^4}{c^4} \propto \frac{1}{\lambda^4},
	\label{eq:rayleigh}
\end{equation}
où $\theta$ est l'angle entre $\vec{p}$ et la direction d'observation. Deux conséquences :
\begin{itemize}
	\item la lumière diffusée est $(800/400)^4 = 16$ fois plus intense dans le bleu que dans le rouge :
	      ciel bleu, soleil couchant rouge (le faisceau direct traverse $\sim 40$ fois plus d'atmosphère
	      qu'au zénith et perd son bleu par diffusion Rayleigh ; les aérosols renforcent l'effet) ;
	\item un dipôle ne rayonne pas le long de son axe : à $90^\circ$ du faisceau, seule la composante
	      de $\vec{E}$ \emph{perpendiculaire au plan de diffusion} est rayonnée, la lumière diffusée est
	      \textbf{totalement polarisée rectilignement}.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/diffusion-rayleigh.pdf}
	\caption{Diffusion par une cuve d'eau laiteuse : lumière naturelle incidente selon $x$, observation
		à $90^\circ$ selon $y$ ; seul le dipôle $\vec{p}_z$ rayonne dans cette direction.}
	\label{fig:diffusion}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.62\linewidth]{figures/pdf/dipole-rayonnement.pdf}
	\caption{Diagramme de rayonnement d'un dipôle oscillant.}
	\label{fig:dipole}
\end{figure}

\subsection{Expérience}

\begin{experience}[5 -- Lumière diffusée à $90^\circ$]
	\textbf{Matériel.} Lampe QI, condenseur, diaphragme, cuve parallélépipédique d'eau, lait
	(quelques gouttes) \emph{ou} thiosulfate de sodium ($\approx\qty{0.1}{mol.L^{-1}}$) et acide
	chlorhydrique dilué, polaroïd, écran blanc.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item Faisceau parallèle traversant la cuve d'eau claire : rien n'est visible latéralement.
		\item Ajouter le lait goutte à goutte : le faisceau devient visible de côté, \textbf{bleuté}, et
		      le faisceau transmis sur l'écran \textbf{rougit}.
		\item Observer à $90^\circ$ à travers le polaroïd : extinction quasi complète pour un axe
		      \emph{parallèle} au faisceau, maximum pour l'axe perpendiculaire au plan de diffusion.
		      Observer vers l'avant ou l'arrière : pas d'extinction.
		\item Variante cinétique : la dismutation du thiosulfate en milieu acide,
		      $\ce{S2O3^{2-}_{(aq)} + 2H^+_{(aq)} -> S_{(s)} + SO2_{(aq)} + H2O_{(l)}}$, produit
		      lentement du soufre colloïdal dont les grains grossissent : la lumière diffusée, d'abord
		      bleue et polarisée (Rayleigh), devient blanche et dépolarisée (Mie, $a \gtrsim \lambda$).
	\end{enumerate}
\end{experience}

\begin{odg}
	Degré de polarisation à $90^\circ$ : $P > 0{,}9$ avec du lait très dilué, $P \approx 0{,}7$ pour le
	ciel clair (diffusions multiples, anisotropie des molécules) ; rapport bleu/rouge $16$ pour
	$\lambda$ de \qty{400}{} à \qty{800}{nm}.
\end{odg}

\begin{jury}[Le ciel bleu est-il dû aux poussières ?]
	Non : la diffusion Rayleigh est due aux \emph{molécules} de l'air (fluctuations de densité) ; les
	poussières et gouttelettes, plus grosses que $\lambda$, diffusent en régime de Mie, peu sélectif
	en longueur d'onde, ce qui donne le blanc des nuages et de la brume. La dépendance en $\lambda^{-4}$
	est celle de la puissance rayonnée par un dipôle induit ($\propto\omega^4$) loin de ses résonances
	(ultraviolet pour N$_2$ et O$_2$).
\end{jury}

\begin{transition}
	Jusqu'ici nous avons produit des polarisations rectilignes. Pour fabriquer et analyser des
	polarisations circulaires et elliptiques, il faut un milieu qui traite différemment deux
	polarisations rectilignes orthogonales : un cristal biréfringent.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Biréfringence : production et analyse des polarisations elliptiques}
\label{sec:birefringence}

\subsection{Double réfraction et lames cristallines}

\begin{experience}[6 -- Double réfraction dans le spath]
	Poser un rhomboèdre de calcite sur un texte : chaque lettre est dédoublée. Un polaroïd que l'on
	tourne éteint alternativement l'une et l'autre image, qui sont donc polarisées rectilignement
	selon deux directions orthogonales. En tournant le cristal, l'image extraordinaire tourne autour
	de l'image ordinaire.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.85\linewidth]{figures/pdf/double-refraction.pdf}
	\caption{Double réfraction dans un rhomboèdre de calcite : rayon ordinaire ($n_o = 1{,}658$) et
		extraordinaire ($n_e = 1{,}486$ à \qty{589}{nm}).}
	\label{fig:spath}
\end{figure}

\begin{definition}[Milieu uniaxe, lignes neutres]
	Dans un cristal uniaxe (calcite, quartz, mica), une direction privilégiée, l'\textbf{axe optique},
	est telle qu'une onde polarisée rectilignement perpendiculairement à l'axe (onde \emph{ordinaire})
	voit l'indice $n_o$ et qu'une onde polarisée dans le plan contenant l'axe (onde
	\emph{extraordinaire}) voit, pour une propagation perpendiculaire à l'axe, l'indice $n_e$. Une
	\textbf{lame à faces parallèles taillée parallèlement à l'axe} possède ainsi deux \textbf{lignes
		neutres} orthogonales : une vibration rectiligne alignée sur l'une d'elles la traverse sans
	modification.
\end{definition}

\begin{odg}
	Calcite : $n_o = 1{,}658$, $n_e = 1{,}486$ ($\Delta n = -0{,}172$, uniaxe négatif) ; quartz :
	$n_o = 1{,}5442$, $n_e = 1{,}5533$ ($\Delta n = +0{,}0091$, uniaxe positif) ; mica :
	$\Delta n \approx 0{,}005$. Une lame quart d'onde d'ordre zéro en quartz pour \qty{589}{nm} a une
	épaisseur $e = \lambda_0/(4\Delta n) \approx \qty{16}{\micro m}$ ; les lames commerciales sont
	souvent d'ordre multiple ($e\Delta n = (m + 1/4)\lambda_0$) ou composées de deux lames croisées.
\end{odg}

\subsection{Action d'une lame sur une vibration rectiligne}

Soit une lame d'épaisseur $e$, de lignes neutres $u$ (indice $n_u$, axe \emph{rapide}) et $v$
(indice $n_v > n_u$, axe \emph{lent}), et une vibration rectiligne incidente d'amplitude $E_0$
inclinée de $\alpha$ sur $u$. À l'entrée, $E_u = E_0\cos\alpha\cos\omega t$ et
$E_v = E_0\sin\alpha\cos\omega t$ ; à la sortie la composante lente est retardée :
\begin{equation}
	E_u = E_0\cos\alpha\,\cos\omega t, \qquad E_v = E_0\sin\alpha\,\cos(\omega t - \varphi), \qquad
	\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n_v - n_u)\,e .
	\label{eq:lame}
\end{equation}
La vibration émergente est elliptique, d'équation \eqref{eq:ellipse} avec $E_{0x} = E_0\cos\alpha$
et $E_{0y} = E_0\sin\alpha$.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/lame-birefringente.pdf}
	\caption{Une lame biréfringente transforme une vibration rectiligne en vibration elliptique.}
	\label{fig:lame}
\end{figure}

\begin{propriete}[Lames demi-onde et quart d'onde]
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Lame demi-onde} ($e\Delta n = \lambda_0/2$, $\varphi = \pi$) : $E_v \to -E_v$, la
		      vibration reste rectiligne mais \emph{symétrique} de la vibration incidente par rapport aux
		      lignes neutres : rotation de $2\alpha$.
		\item \textbf{Lame quart d'onde} ($e\Delta n = \lambda_0/4$, $\varphi = \pi/2$) : la vibration
		      émergente est elliptique \emph{d'axes les lignes neutres} ; elle est \textbf{circulaire} si
		      $\alpha = 45^\circ$. Réciproquement, une vibration elliptique dont les axes coïncident avec
		      les lignes neutres d'une lame $\lambda/4$ ressort \textbf{rectiligne} (inclinée de
		      $\arctan(E_{0y}/E_{0x})$) ; une circulaire ressort rectiligne à $45^\circ$ des lignes neutres.
	\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/lames-demi-quart.pdf}
	\caption{Action des lames $\lambda/2$ et $\lambda/4$ sur une vibration rectiligne.}
	\label{fig:lames}
\end{figure}

\begin{experience}[7 -- Lame quart d'onde : production d'une polarisation circulaire]
	\textbf{Matériel.} Laser He-Ne (ou lampe + filtre), polariseur $P$, lame $\lambda/4$ pour
	\qty{633}{nm} sur monture graduée, analyseur $A$, photodiode.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Lignes neutres.} $P$ et $A$ croisés, insérer la lame et la tourner : quatre
		      extinctions par tour repèrent les lignes neutres (la lame n'agit pas sur une vibration qui
		      leur est parallèle). Les marquer.
		\item \textbf{Circulaire.} Tourner la lame de $45^\circ$ à partir d'une extinction. Tourner alors
		      $A$ : l'intensité reste constante (à quelques \% près). Vérifier que ce n'est pas de la
		      lumière naturelle (voir expérience~8).
		\item \textbf{Elliptique.} Pour un angle $\alpha \neq 45^\circ$, $A$ donne un minimum non nul
		      et un maximum ; mesurer $I_{\min}/I_{\max} = \tan^2\alpha$ (ou $\cot^2\alpha$) et comparer.
	\end{enumerate}
	\textbf{Pièges.} Une lame $\lambda/4$ prévue pour \qty{589}{nm} donne à \qty{633}{nm} un déphasage
	$\varphi = (\pi/2)(589/633) \approx 0{,}465\pi$ (ordre zéro) : l'ellipse n'est pas tout à fait un
	cercle, et c'est bien pire pour une lame d'ordre multiple. Repérer le sens lent/rapide de la lame
	fixe le sens de rotation (gauche ou droite), distinguable avec une seconde $\lambda/4$.
\end{experience}

\subsection{Analyse d'une polarisation inconnue}
\label{sec:analyse}

\begin{experience}[8 -- Identifier un état de polarisation]
	On dispose d'un analyseur $A$ et d'une lame $\lambda/4$. La figure~\ref{fig:analyse} résume la
	procédure ; en pratique :
	\begin{enumerate}
		\item $A$ seul : extinction totale $\Rightarrow$ rectiligne ; intensité constante $\Rightarrow$
		      circulaire ou naturelle ; minimum non nul $\Rightarrow$ elliptique ou partiellement polarisée.
		\item Cas « constante » : placer la $\lambda/4$ (orientation quelconque), tourner $A$ :
		      extinction $\Rightarrow$ circulaire ; toujours constante $\Rightarrow$ naturelle.
		\item Cas « minimum non nul » : placer la $\lambda/4$ avec une ligne neutre selon la direction
		      du maximum de $A$ (axe de l'ellipse), tourner $A$ : extinction $\Rightarrow$ elliptique ;
		      minimum non nul $\Rightarrow$ mélange de lumière naturelle et polarisée.
	\end{enumerate}
	Sources « inconnues » à proposer au jury : réflexion vitreuse hors Brewster (partiellement
	polarisée), écran LCD d'ordinateur (rectiligne, souvent à $45^\circ$), lumière du ciel à $90^\circ$
	du Soleil, laser + $\lambda/4$ à $30^\circ$ (elliptique).
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/analyse-polarisation.pdf}
	\caption{Arbre de décision pour l'analyse d'une polarisation avec un analyseur et une lame $\lambda/4$.}
	\label{fig:analyse}
\end{figure}

\subsection{Mesure d'un déphasage : méthode de Sénarmont}

\begin{experience}[9 -- Déphasage d'une lame par la méthode de Sénarmont]
	\textbf{Principe.} Entre polariseur $P$ (vertical) et analyseur $A$ croisés, une lame $C$ de
	déphasage inconnu $\varphi$ est placée avec ses lignes neutres à $45^\circ$ de $P$ : la vibration
	émergente est elliptique, d'axes parallèle et perpendiculaire à $P$ (annexe~\ref{ann:senarmont}).
	Une lame quart d'onde $Q$ dont les lignes neutres sont parallèles à $P$ et $\perp P$ la rend
	rectiligne, inclinée de $\theta = \varphi/2$ sur $P$. On tourne $A$ jusqu'à l'extinction : la
	rotation $\theta$ donne $\varphi = 2\theta$.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item $P$ et $A$ croisés, sans lame : extinction de référence.
		\item Insérer $C$, la tourner jusqu'à l'extinction (lignes neutres selon $P$), puis la tourner
		      de $45^\circ$ exactement.
		\item Retirer $C$, insérer $Q$ et la tourner jusqu'à l'extinction (lignes neutres selon $P$).
		\item Remettre $C$ (à $45^\circ$) : tourner $A$ jusqu'à l'extinction ; lire $\theta$ ;
		      $\varphi = 2\theta$ modulo $\pi$ (le sens de rotation lève l'ambiguïté lent/rapide).
	\end{enumerate}
	\textbf{Exploitation.} Avec $u(\theta) \approx 0{,}5^\circ$ (extinction nette), $u(\varphi) \approx 1^\circ$,
	soit environ 1 \% du déphasage d'une lame $\lambda/4$ ($90^\circ$). On peut mesurer ainsi la biréfringence d'une feuille
	de cellophane ou d'un ruban adhésif, et vérifier la loi $\varphi \propto 1/\lambda_0$ avec plusieurs
	raies du mercure.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/senarmont.pdf}
	\caption{Méthode de Sénarmont : la lame $\lambda/4$ convertit l'ellipse d'axes connus en vibration
		rectiligne dont l'inclinaison mesure $\varphi/2$.}
	\label{fig:senarmont}
\end{figure}

\begin{transition}
	Les lames cristallines sont des biréfringences \emph{linéaires}. Certains milieux présentent une
	biréfringence \emph{circulaire} (pouvoir rotatoire), d'autres acquièrent une biréfringence sous
	contrainte ou sous champ électrique : trois applications pour terminer.
\end{transition}

% =====================================================================
\section{Applications}

\subsection{Pouvoir rotatoire : saccharimétrie}

\begin{propriete}[Loi de Biot (1815)]
	Une solution d'une substance \emph{chirale} (saccharose, glucose, acide tartrique) fait tourner
	le plan de polarisation d'une vibration rectiligne d'un angle
	\begin{equation}
		\alpha = [\alpha]_\lambda^{T}\;\ell\;c,
		\label{eq:biot}
	\end{equation}
	proportionnel à la longueur $\ell$ traversée et à la concentration massique $c$. Le pouvoir
	rotatoire spécifique $[\alpha]_\lambda^T$ dépend de la longueur d'onde (\emph{dispersion rotatoire},
	approximativement en $1/\lambda^2$) et de la température. Unités d'usage : $\alpha$ en degrés,
	$\ell$ en dm, $c$ en $\si{g.cm^{-3}}$ ; saccharose : $[\alpha]_D^{20} = +66{,}5\,^\circ\cdot\si{dm^{-1}.g^{-1}.cm^{3}}$
	(dextrogyre : rotation dans le sens horaire pour l'observateur qui reçoit la lumière).
\end{propriete}

\begin{remarque}[origine physique]
	Fresnel (1822) interprète le pouvoir rotatoire par une \emph{biréfringence circulaire} : les
	ondes circulaires gauche et droite se propagent avec des indices $n_G \neq n_D$, et une vibration
	rectiligne, somme de deux circulaires, ressort tournée de $\alpha = \pi(n_G - n_D)\ell/\lambda_0$.
	Pour $\alpha = 26{,}6^\circ$ sur \qty{2}{dm} à \qty{589}{nm} : $n_G - n_D \approx 4\times10^{-7}$,
	une biréfringence minuscule, mesurable parce que l'effet est cumulatif sur $3\times10^5$ longueurs
	d'onde. Le quartz cristallin (\qty{21.7}{\degree.mm^{-1}}) donne $\Delta n = 7\times10^{-5}$.
\end{remarque}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/saccharimetre.pdf}
	\caption{Saccharimètre : polariseur, tube de solution, analyseur gradué ; vue de face de la rotation
		du plan de polarisation.}
	\label{fig:saccharimetre}
\end{figure}

\begin{experience}[10 -- Loi de Biot avec le saccharose]
	\textbf{Matériel.} Lampe à vapeur de sodium (ou laser + filtre), polariseur, tubes de \qty{2}{dm}
	à fenêtres, analyseur gradué, photodiode ou œil ; saccharose, balance au centigramme, fioles de
	\qty{100}{mL}.

	\textbf{Protocole.}
	\begin{enumerate}
		\item Préparer des solutions à $5$, $10$, $15$, $20$, $25$ et $\qty{30}{g}$ pour \qty{100}{mL}
		      ($c$ de $0{,}05$ à $\qty{0.30}{g.cm^{-3}}$) ; mesurer la température.
		\item Tube rempli d'eau pure : croiser $P$ et $A$ (extinction), lire $\alpha_0$.
		\item Remplacer par chaque solution, retrouver l'extinction : lire $\alpha_0 + \alpha$ ; noter le
		      sens de rotation (saccharose : horaire).
		\item Encadrer chaque extinction par deux positions de même éclairement (le minimum est plat).
	\end{enumerate}
	\textbf{Exploitation.} Tracer $\alpha(c)$, régression linéaire passant au voisinage de l'origine ;
	$[\alpha] = \text{pente}/\ell$. Comparer à $66{,}5\,^\circ\cdot\si{dm^{-1}.g^{-1}.cm^{3}}$ ; en
	déduire inversement la concentration d'une solution inconnue (« sucre d'un soda »).
\end{experience}

\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={X[1.8,l] *{7}{X[c]}}, width=0.95\linewidth, hlines, vlines,
			row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
		$c$ ($\si{g.cm^{-3}}$) & 0 & 0,05 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 \\
		$\alpha$ ($^\circ$), $\ell = \qty{2}{dm}$ & 0,0 & 6,7 & 13,2 & 19,7 & 26,5 & 33,0 & 39,9 \\
	\end{tblr}
\end{center}
\noindent\emph{Valeurs typiques simulées} ($u(\alpha) = 0{,}3^\circ$, $u(c) = \qty{0.002}{g.cm^{-3}}$) ;
la régression donne $[\alpha] = (66{,}3 \pm 0{,}2)\,^\circ\cdot\si{dm^{-1}.g^{-1}.cm^{3}}$
(figure~\ref{fig:biot}).

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/pouvoir-rotatoire.pdf}
	\caption{(a) Loi de Biot : $\alpha$ proportionnel à $c$ ; (b) dispersion rotatoire du saccharose,
		loi de Biot--Drude $[\alpha] = A/(\lambda^2 - \lambda_0^2)$ avec $A = 21{,}648$ et
		$\lambda_0^2 = 0{,}0213$ ($\lambda$ en \si{\micro m}, d'après Lowry).}
	\label{fig:biot}
\end{figure}

\begin{attention}[Pièges]
	\begin{itemize}
		\item En lumière blanche, la dispersion rotatoire empêche toute extinction : on observe des
		      \emph{teintes sensibles} ; travailler en lumière monochromatique (raie D).
		\item Bulles dans le tube, fenêtres sales ou contraintes (biréfringence parasite).
		\item La température ne modifie $[\alpha]$ que de quelques millièmes de pour cent par kelvin pour le
		      saccharose autour de \qty{20}{\celsius} (tables de saccharimétrie) : négligeable ici, mais à mentionner
		      en notant la température de la salle.
		\item Ne pas confondre \emph{dextrogyre} (saccharose, glucose) et \emph{lévogyre} (fructose) : le
		      mélange équimolaire issu de l'hydrolyse du saccharose est lévogyre, d'où le nom de « sucre
		      inverti ».
	\end{itemize}
\end{attention}

\subsection{Photoélasticité}

\begin{experience}[11 -- Contraintes dans une pièce de plexiglas]
	Une pièce transparente isotrope devient biréfringente sous contrainte (loi de Brewster--Maxwell
	$n_1 - n_2 = C(\sigma_1 - \sigma_2)$, $C$ de l'ordre de quelques $10^{-12}\,\si{Pa^{-1}}$ pour le verre et le PMMA,
	dix fois plus pour le polycarbonate et les résines époxy, matériaux de choix en photoélasticimétrie) : entre
	polariseur et analyseur croisés, en lumière blanche, on voit des \textbf{franges isochromatiques}
	(lieux d'égale différence de contraintes principales), d'autant plus serrées que le gradient de
	contrainte est élevé, et des \textbf{isoclines} sombres (lieux où une contrainte principale est
	parallèle au polariseur), que l'on supprime en encadrant la pièce par deux lames $\lambda/4$
	croisées (polariscope circulaire). Charger progressivement une équerre ou un crochet : les franges
	naissent aux points de concentration de contrainte. Une règle en plexiglas simplement posée montre
	ses contraintes résiduelles de fabrication.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/photoelasticite.pdf}
	\caption{Polariscope plan et franges isochromatiques d'une pièce comprimée.}
	\label{fig:photo}
\end{figure}

\subsection{Modulation électro-optique et cristaux liquides}

\begin{experience}[12 -- Effet Pockels (en réserve)]
	Dans un cristal sans centre de symétrie (KDP, $\ce{KH2PO4}$ ; LiNbO$_3$), un champ électrique
	statique induit une biréfringence \emph{linéaire} en $E$ (effet Pockels) : $\Delta n \propto E$.
	Entre $P$ et $A$ croisés à $45^\circ$ des lignes neutres, la transmission est
	$T = \sin^2(\varphi/2)$ avec $\varphi = \pi V/V_\pi$ ; une lame $\lambda/4$ ajoute $\pi/2$ et
	place le point de fonctionnement à mi-pente :
	\begin{equation}
		T = \frac12\left[1 + \sin\!\left(\frac{\pi V}{V_\pi}\right)\right] \approx \frac12 + \frac{\pi}{2}\frac{V}{V_\pi},
	\end{equation}
	modulateur \emph{linéaire} d'amplitude (transmission d'un signal audio sur un faisceau laser) ou
	obturateur rapide ($< \qty{1}{ns}$). Pour le KDP en modulation longitudinale,
	$V_\pi = \lambda_0/(2n_o^3 r_{63}) \approx \qty{7.5}{kV}$ à \qty{546}{nm}
	($n_o = 1{,}51$, $r_{63} = \qty{10.5}{pm.V^{-1}}$) : haute tension et précautions.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/pockels.pdf}
	\caption{Modulateur de Pockels et sa fonction de transfert autour du point de fonctionnement.}
	\label{fig:pockels}
\end{figure}

\begin{exemple}[Cristaux liquides, cinéma 3D, astrophysique]
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Écran LCD} : une cellule nématique torsadée entre polariseurs croisés guide la
		      polarisation sur $90^\circ$ (transmission) ; une tension de quelques volts aligne les
		      molécules et supprime la rotation (extinction). Un polaroïd tourné devant un écran
		      d'ordinateur le montre immédiatement.
		\item \textbf{Cinéma 3D} : les deux images sont projetées en polarisations circulaires gauche et
		      droite ; les lunettes (lame $\lambda/4$ + polaroïd) séparent les vues, en tolérant
		      l'inclinaison de la tête, contrairement aux polarisations rectilignes croisées.
		\item \textbf{Effet Faraday} : rotation $\theta = \mathcal{V}B\ell$ en présence d'un champ
		      magnétique le long de la propagation ; contrairement au pouvoir rotatoire naturel, l'effet
		      est \emph{non réciproque} (il se cumule à l'aller et au retour) : isolateurs optiques.
		\item \textbf{Astrophysique} : polarisation de la lumière des étoiles par les grains de poussière
		      alignés sur le champ magnétique galactique, rayonnement synchrotron, polarisation du fond
		      diffus cosmologique.
	\end{itemize}
\end{exemple}

% =====================================================================
\section*{Conclusion}

Le montage parcourt l'ensemble des façons de produire et d'analyser une polarisation : par
projection (antenne, grille, polaroïd), par sélection (Brewster, diffusion), par biréfringence
(lames, pouvoir rotatoire, contraintes, champ électrique). Deux mesures quantitatives s'y prêtent
particulièrement bien, la loi de Malus (régression linéaire, discussion du résiduel) et l'angle de
Brewster (incertitude de type A, propagation sur l'indice) ; la loi de Biot fournit une troisième
mesure et une application concrète. Dans toutes, la question clé posée par le jury sera celle du
\emph{détecteur} (linéarité, soustraction du noir) et celle du \emph{repérage d'un minimum}, qu'il
faut encadrer plutôt que viser.

% =====================================================================
\appendix
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}

\section{Coefficients de Fresnel pour la polarisation \texorpdfstring{$p$}{p}}
\label{ann:fresnel}

Milieux diélectriques linéaires, homogènes, isotropes, non magnétiques, non chargés. Les relations
de passage s'écrivent $\vec{n}_{12}\times(\vec{E}_2 - \vec{E}_1) = \vec{0}$,
$\vec{n}_{12}\times(\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{0}$ (avec $\vec{H} = \vec{B}/\mu_0$),
$\vec{n}_{12}\cdot(\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = 0$ avec $\vec{D} = \varepsilon_0 n^2\vec{E}$, et
$\vec{n}_{12}\cdot(\vec{B}_2 - \vec{B}_1) = 0$. Pour la polarisation $p$ ($\vec{E}$ dans le plan
d'incidence, $\vec{B}$ perpendiculaire), avec les amplitudes $E_i$, $rE_i$, $tE_i$ :
\begin{align}
	\text{continuité de } E_\parallel : \quad & (1 + r)\cos\theta_i = t\cos\theta_t, \\
	\text{continuité de } D_\perp : \quad     & n_1^2(1 - r)\sin\theta_i = n_2^2\, t\sin\theta_t
	\ \Longleftrightarrow\ n_1(1 - r) = n_2\, t \quad(\text{Snell--Descartes}),
\end{align}
la seconde relation étant équivalente à la continuité de $H_\parallel$ ($B = nE/c$). On en tire
\begin{equation}
	r_p = \frac{n_1\cos\theta_t - n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}, \qquad
	t_p = \frac{2n_1\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t + n_2\cos\theta_i}.
\end{equation}
Pour la polarisation $s$, la continuité de $E_\parallel$ et de $H_\parallel$ donne
$r_s = (n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t)/(n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t)$. On vérifie
$R + T = 1$ avec $T = \dfrac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\,t^2$. \emph{Convention de signe} : les vecteurs
de base de la polarisation $p$ des ondes incidente et réfléchie sont choisis ici de sorte que $r_p = r_s$
en incidence normale, d'où $r_p = -\tan(\theta_i - \theta_t)/\tan(\theta_i + \theta_t)$. Born \& Wolf et Hecht
orientent le champ réfléchi en sens inverse et écrivent $r_p = \tan(\theta_i - \theta_t)/\tan(\theta_i + \theta_t)$,
de signe opposé ($r_p = -r_s$ en incidence normale), ce qui ne change ni $R_p$ ni l'angle de Brewster.

\section{Rayonnement dipolaire et diffusion Rayleigh}
\label{ann:dipole}

Un dipôle $\vec{p}(t) = p_0\cos(\omega t)\,\uvec{z}$ ($a \ll \lambda$) crée, dans la zone de
rayonnement $r \gg \lambda$,
\begin{equation}
	\vec{E} = -\frac{\mu_0\,\ddot{p}(t - r/c)\,\sin\theta}{4\pi r}\,\uvec{\theta}, \qquad
	\vec{B} = \frac{1}{c}\,\uvec{r}\times\vec{E}, \qquad
	\moy{\vec{\Pi}} = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4\sin^2\theta}{32\pi^2 c\,r^2}\,\uvec{r},
\end{equation}
d'où la puissance rayonnée $\moy{P} = \dfrac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{12\pi c}$ et le gain
$G(\theta) = 4\pi r^2\moy{\Pi}/\moy{P} = \tfrac32\sin^2\theta$. Le champ est polarisé
rectilignement selon $\uvec{\theta}$, dans le plan contenant $\vec{p}$ et la direction d'observation.

\paragraph{Électron élastiquement lié.} Avec $m\ddot{z} + (m/\tau)\dot{z} + m\omega_0^2 z = -eE_m\cos\omega t$,
l'amplitude du dipôle induit est $p_0 = e^2E_m/\big(m\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2}\big)$
et la puissance diffusée rapportée au flux incident $c\varepsilon_0E_m^2/2$ définit la section
efficace
\begin{equation}
	\sigma(\omega) = \sigma_{\mathrm{T}}\,\frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2},
	\qquad \sigma_{\mathrm{T}} = \frac{8\pi}{3}r_e^2 = \qty{6.65e-29}{m^2},
\end{equation}
avec $r_e = e^2/(4\pi\varepsilon_0 mc^2)$. Si $\omega \ll \omega_0$ (visible, résonances dans
l'ultraviolet) : $\sigma \approx \sigma_{\mathrm{T}}(\omega/\omega_0)^4 \propto \lambda^{-4}$, c'est la
diffusion \textbf{Rayleigh} ; si $\omega \gg \omega_0$ : diffusion de Thomson. La polarisation de la
lumière diffusée est celle du rayonnement dipolaire : totale à $90^\circ$.

\section{Ellipse de polarisation et action d'une lame}
\label{ann:ellipse}

De $E_x = E_{0x}\cos\omega t$ et $E_y = E_{0y}\cos(\omega t - \varphi)
	= E_{0y}(\cos\omega t\cos\varphi + \sin\omega t\sin\varphi)$ :
$E_y/E_{0y} - (E_x/E_{0x})\cos\varphi = \sin\omega t\sin\varphi$ ; en élevant au carré et en
ajoutant $(E_x/E_{0x})^2\sin^2\varphi = \cos^2\omega t\sin^2\varphi$ on obtient \eqref{eq:ellipse}.
Pour une lame de lignes neutres $u$ (rapide) et $v$ (lent) et une vibration incidente inclinée de
$\alpha$, $E_{0u} = E_0\cos\alpha$, $E_{0v} = E_0\sin\alpha$ et $\varphi = 2\pi(n_v - n_u)e/\lambda_0$
\eqref{eq:lame} ; $\varphi = \pi$ (demi-onde) donne $E_v/E_u = -\tan\alpha$, vibration symétrique ;
$\varphi = \pi/2$ et $\alpha = \pi/4$ (quart d'onde) donnent $E_u^2 + E_v^2 = E_0^2/2$, cercle.

\section{Méthode de Sénarmont : calcul}
\label{ann:senarmont}

Polariseur selon $y$, lame $C$ de déphasage $\varphi$ et de lignes neutres
$\uvec{u} = (\uvec{x} + \uvec{y})/\sqrt2$, $\uvec{v} = (-\uvec{x} + \uvec{y})/\sqrt2$. En notation
complexe ($\ee^{-\ii\omega t}$ omis), l'onde incidente $E_0\uvec{y} = \tfrac{E_0}{\sqrt2}(\uvec{u} + \uvec{v})$
devient à la sortie $\tfrac{E_0}{\sqrt2}(\uvec{u} + \ee^{\ii\varphi}\uvec{v})$, soit dans la base
$(x,y)$ :
\begin{equation}
	\ul{E}_x = \frac{E_0}{2}\left(1 - \ee^{\ii\varphi}\right) = -\ii E_0\sin\frac{\varphi}{2}\,\ee^{\ii\varphi/2},
	\qquad
	\ul{E}_y = \frac{E_0}{2}\left(1 + \ee^{\ii\varphi}\right) = E_0\cos\frac{\varphi}{2}\,\ee^{\ii\varphi/2}.
\end{equation}
Les deux composantes sont en quadrature : vibration elliptique d'axes $x$ et $y$, de demi-axes
$E_0|\sin(\varphi/2)|$ et $E_0|\cos(\varphi/2)|$. La lame $\lambda/4$ d'axes $x,y$ multiplie
$\ul{E}_x$ par $\pm\ii$ : les composantes deviennent en phase (ou en opposition), la vibration est
rectiligne et inclinée sur $y$ de $\theta$ tel que $\tan\theta = \mp\tan(\varphi/2)$, soit
$\theta = \mp\varphi/2$. L'extinction de l'analyseur croisé est obtenue après une rotation
$\theta$ : $\varphi = 2\theta$.

\section{La photodiode comme détecteur linéaire}
\label{ann:photodiode}

Une photodiode est une jonction $p$-$n$ dans laquelle les photons d'énergie $h\nu > E_g$
($E_g = \qty{1.12}{eV}$ pour le silicium, $\lambda < \qty{1.1}{\micro m}$) créent des paires
électron-trou, séparées par le champ de la zone de charge d'espace. Sa caractéristique est
\begin{equation}
	I = I_s\left(\ee^{U/U_T} - 1\right) - I_{\mathrm{ph}}, \qquad U_T = \frac{\kB T}{e} \approx \qty{26}{mV},
	\qquad I_{\mathrm{ph}} = \eta\,\frac{e}{h\nu}\,\Phi ,
\end{equation}
où $\Phi$ est le flux reçu et $\eta$ le rendement quantique ($0{,}6$ à $0{,}9$ pour le silicium dans le
visible), soit une sensibilité $\eta e/(h\nu) \approx 0{,}3$ à $0{,}5\,\si{A.W^{-1}}$ ($0{,}4\,\si{A.W^{-1}}$ à \qty{633}{nm}). En court-circuit ou polarisée en inverse, $I \approx -I_{\mathrm{ph}}$ est
\emph{proportionnel} au flux ; à vide, $U_{\mathrm{oc}} = U_T\ln(1 + I_{\mathrm{ph}}/I_s)$ est
logarithmique. Avec une résistance de charge $R$, la tension $U = RI_{\mathrm{ph}}$ reste linéaire tant
que $U$ reste petite devant la tension de polarisation inverse (ou, sans polarisation, $U \lesssim 0{,}1\,\si{V}$ :
la diode ne doit pas conduire), c'est-à-dire tant que la droite de charge coupe la zone horizontale des
caractéristiques.

\section{Questions classiques du jury}

\begin{jury}[Un polaroïd absorbe-t-il ou réfléchit-il la composante bloquée ?]
	Il l'\emph{absorbe} (chaînes de polyiodure résistives : les électrons entraînés dissipent par
	effet Joule), d'où l'échauffement. La grille hyperfréquence, en bon conducteur, la
	\emph{réfléchit}. Un polariseur à réflexion (empilement de lames à Brewster) ou un cube
	séparateur de polarisation la renvoie de côté.
\end{jury}
\begin{jury}[Que donne la loi de Malus avec de la lumière naturelle ?]
	$I = I_0/2$ quelle que soit l'orientation : la moyenne de $\cos^2$ sur toutes les directions
	incidentes vaut $1/2$. Une lumière circulaire donne le même résultat : l'analyseur seul ne les
	distingue pas, il faut la lame $\lambda/4$.
\end{jury}
\begin{jury}[Existe-t-il un angle de Brewster en réflexion métallique ?]
	Non : les coefficients de Fresnel sont complexes (indice $n + \ii\kappa$), $|r_p|$ passe par un
	minimum non nul (\emph{angle principal}) et la lumière réfléchie est elliptique. C'est la base de
	l'ellipsométrie, qui mesure $n$ et $\kappa$ ou l'épaisseur d'une couche mince.
\end{jury}
\begin{jury}[Pourquoi la lumière diffusée par le ciel n'est-elle pas totalement polarisée à $90^\circ$ ?]
	Diffusions multiples, anisotropie de polarisabilité des molécules (dépolarisation de quelques \%),
	aérosols (Mie), réflexion par le sol : $P \approx 0{,}7$ au mieux. Les abeilles et de nombreux
	insectes utilisent cette polarisation pour s'orienter.
\end{jury}
\begin{jury}[Comment distinguer une circulaire gauche d'une circulaire droite ?]
	Avec une $\lambda/4$ dont on connaît l'axe lent : la rectiligne obtenue est à $+45^\circ$ ou
	$-45^\circ$ de cet axe selon le sens. Autre méthode : deux circulaires de sens opposés passant par
	une même $\lambda/4$ donnent des rectilignes orthogonales.
\end{jury}
\begin{jury}[Pourquoi une lame d'ordre multiple est-elle « chromatique » ?]
	$\varphi = 2\pi\Delta n\,e/\lambda_0$ : pour $e\Delta n = (m + 1/4)\lambda_0$, une variation
	relative $\delta\lambda/\lambda$ change $\varphi$ de $-(m + 1/4)2\pi\,\delta\lambda/\lambda$,
	d'autant plus que $m$ est grand ; pour une variation de $10\,\%$ de $\lambda$, une lame d'ordre
	zéro ($m = 0$) s'écarte de $10\,\%$ de son déphasage nominal, une lame $m = 10$ de $100\,\%$. Les lames « achromatiques » combinent deux matériaux
	(quartz et MgF$_2$).
\end{jury}
\begin{jury}[Quelle est l'origine microscopique du pouvoir rotatoire ?]
	La chiralité des molécules (ou de la maille, pour le quartz) : l'onde circulaire gauche et l'onde
	circulaire droite induisent des réponses différentes (couplage entre dipôle électrique et dipôle
	magnétique induits), donc $n_G \neq n_D$. Une solution de molécules chirales conserve l'effet en
	moyenne sur les orientations ; un mélange racémique l'annule.
\end{jury}
\begin{jury}[En quoi l'effet Faraday diffère-t-il du pouvoir rotatoire naturel ?]
	Le sens de rotation de Faraday est fixé par $\vec{B}$, pas par le sens de propagation : un
	aller-retour double la rotation (non-réciprocité, exploitée dans les isolateurs optiques), alors
	que le pouvoir rotatoire naturel s'annule à l'aller-retour.
\end{jury}
\begin{jury}[Quel lien entre polarisation circulaire et photon ?]
	Une onde circulaire transporte un moment cinétique $\pm\hbar$ par photon le long de $\vec{k}$
	(hélicité $\pm 1$). Beth (1936) l'a mesuré en détectant le couple exercé sur une lame demi-onde
	suspendue par un fil de torsion : transformer une circulaire gauche en droite transfère $2\hbar$
	par photon à la lame.
\end{jury}
\begin{jury}[Comment vérifier qu'une photodiode est linéaire ?]
	Mesurer $U$ en fonction du nombre de densités neutres identiques interposées (loi exponentielle
	attendue), ou en fonction de la distance d'une source ponctuelle (loi en $1/d^2$), ou avec deux
	polariseurs (loi de Malus elle-même, si l'on fait confiance aux polariseurs : raisonnement
	circulaire à éviter devant le jury).
\end{jury}

\section{Corrections apportées par rapport aux notes manuscrites}

Le détail (citation des notes, correction, justification, référence) figure dans
\texttt{sources/corrections.md}. En résumé :
\begin{enumerate}
	\item le pas de la grille doit être \emph{petit devant} $\lambda$, non « de l'ordre de » $\lambda$ ;
	\item la composante parallèle aux fils est \emph{réfléchie} par la grille (courants induits), non
	      « dissipée sous forme thermique » ; pour le polaroïd c'est l'absorption qui domine ;
	\item transmittances des polaroïds précisées par famille de films ($k_1$ de 0,5 à 0,8, $k_2$ de $10^{-5}$ à
	      quelques $10^{-3}$) : les valeurs « 0,5 et 0,0002 » des notes correspondent à un film dense (type
	      HN22--HN32) ; historique de Land précisé (1929/1938) ;
	\item incertitude de type A sur $\theta_B$ : $s/\sqrt{N} = 0{,}26^\circ$ (et non $0{,}36^\circ$),
	      incertitude élargie avec $t_{95} = 3{,}18$ ; l'indice $1{,}47 \pm 0{,}05$ ne discrimine pas
	      borosilicate et crown ;
	\item soleil couchant : cause principale Rayleigh sur un long trajet, Mie en renfort ; ciel bleu dû
	      aux molécules, pas aux poussières ;
	\item convention gauche/droite explicitée (observateur recevant l'onde) ;
	\item écriture correcte $\vec{D} = \varepsilon_0 n^2\vec{E}$ et relations de passage sur
	      $\vec{H}_\parallel$ ; domaines de validité du rayonnement dipolaire ($a \ll \lambda$, zone
	      $r \gg \lambda$) ;
	\item photodiode : seule la mesure du \emph{courant} est linéaire, point ajouté aux pièges ;
	\item notation unifiée du déphasage d'une lame, $\varphi = 2\pi(n_{\mathrm{lent}} - n_{\mathrm{rapide}})e/\lambda_0$ ;
	\item effet Pockels : signe du point de fonctionnement conventionnel, ordre de grandeur $V_\pi$ ajouté.
	\item relecture scientifique indépendante : convention de signe des coefficients de Fresnel correctement
	      attribuée (Born \& Wolf et Hecht utilisent le signe opposé à celui adopté ici), constante photoélastique
	      du PMMA ramenée à son ordre de grandeur (quelques $10^{-12}\,\si{Pa^{-1}}$), sensibilité de la photodiode
	      distinguée du rendement quantique, coefficient de température du pouvoir rotatoire donné en ordre de
	      grandeur, écart borosilicate/crown exprimé en nombre d'incertitudes-types.
\end{enumerate}

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
	\item Sextant, \emph{Optique expérimentale}, Hermann, 1997 -- chap.\ « Polarisation » : montages,
	      Malus, Brewster, lames, Sénarmont.
	\item R.~Duffait, \emph{Expériences d'optique -- agrégation de physique}, Bréal, 1997 -- p.~190 :
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	\item J.-P.~Pérez, \emph{Optique, fondements et applications}, Dunod, 7\textsuperscript{e} éd.\ --
	      chap.\ « Polarisation », « Biréfringence », « Pouvoir rotatoire ».
	\item E.~Hecht, \emph{Optics}, Pearson, 5\textsuperscript{e} éd.\ -- chap.\ 8 (polarisation), § 4.6
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	      conventions de polarisation, biréfringence.
	\item P.~Fleury, J.-P.~Mathieu, \emph{Lumière}, Eyrolles -- pouvoir rotatoire, dispersion rotatoire.
	\item M.~Born, E.~Wolf, \emph{Principles of Optics}, Cambridge UP, § 1.5 -- coefficients de Fresnel.
	\item C.~F.~Bohren, D.~R.~Huffman, \emph{Absorption and Scattering of Light by Small Particles},
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\end{document}