Equation de diffusion et résolution
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Equation de diffusion et résolution

Rémi MEVAERE - 16/03/2021

On souhaite dans cet article résoudre le cas classique de la diffusion de particules. On utilisera la transformée de Fourier pour résoudre l'équation aux dérivées partielles.

Etape 1 : établir l'équation de diffusion

Figure 1  - Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S
Figure 1 - Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S

On se place dans le cas conservatif où il n'y a pas de création ou de destruction de particules dans . De sorte que la variation du nombre de particules ne dépend que des échanges avec l'extérieur, on pose le nombre de particules échangées :

Pour établir l'équation de diffusion, écrivons le bilan entre deux instants proches et :

Remarquons au passage que est une forme différentielle, c'est à dire qu'elle n'est pas a priori la différentielle d'une fonction. Ici sera pour nous le nombre de particules qui traversent une surface infiniment petite caractérisée par une normale .

correspond alors au nombre de particules qui traverserons cette surface . Il s'agit de toutes les particules contenues dans le cylindre de base et de hauteur .

Figure 2 - Cylindre de base
Figure 2 - Cylindre de base et de hauteur

Définissons le flux comme le nombre de particules qui traversent la surface pendant une durée .

En posant le courant de particules

Pour obtenir le flux on intègre sur une surface :

Reprenons le bilan du dessus :

On note que si les particules se déplacent dans le sens de elles sortent du volume étudié et donc doivent être comptées négativement.

Le théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) donne :

On utilise les dérivées partielles car dépend en même temps de l'espace et du temps . Pas question ici d'utiliser les droits.

Pour faciliter la résolution on travaillera dorénavant selon une unique dimension, choisie .

On rappelle la loi phénoménologique de Fick :

Ce qui nous permet d'obtenir l'équation de diffusion suivante :

Etape 2 : Résoudre l'équation aux dérivées partielles

Avant de résoudre cette EDP il est nécessaire de fixer les conditions limites de notre problème.

Condition 1 : La totalité des particules se trouvent à à l'origine .

correspond à l'impulsion de Dirac, c'est une distribution.

Figure 3 - Représentation de l'impulsion de Dirac
Figure 3 - Représentation de l'impulsion de Dirac

Condition 2 : Les particules sont absentes à

La transformation de Fourier donne la transformée de Fourier :

Les rôles de et sont réciproques :

Reprenons la condition 1 :

Nous pouvons maintenant substituer dans l'équation de diffusion :

On résoud l'équation différentielle

Puis on effectue la transformée de Fourier inverse pour retrouver :

Le premier changement de variable donne :

Le second changement de variable donne :

Merci à l'ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique
Merci à l'ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique

Ci-dessus est représentée la fonction à trois dates différentes . Sans surprise les particules qui au début était en diffusent et la distribution s'élargit.

La largeur à mi-hauteur vaut :

Références

[1] José philippe PEREZ. Thermodynamique - Fondements et Applications. DUNOD, 3ème edition, 2001.