Equation de diffusion et résolution
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Equation de diffusion et résolution

Rémi MEVAERE - 18/12/2020

On souhaite dans cet article résoudre le cas classique de la diffusion de particules. On utilisera la transformée de Fourier pour résoudre l'équation aux dérivées partielles. Le document s'inspire franchement du Perez de Thermodynamique[1].

Etape 1 : établir l'équation de diffusion

Figure 1  - Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S
Figure 1 - Les particules sont contenues dans un volume V délimité par une surface S

On se place dans le cas conservatif où il n'y a pas de création ou de destruction de particules dans . De sorte que la variation du nombre de particules ne dépend que des échanges avec l'extérieur, on pose le nombre de particules échangées :

Pour établir l'équation de diffusion, écrivons le bilan entre deux instants proches et :

Remarquons au passage que est une forme différentielle, c'est à dire qu'elle n'est pas a priori la différentielle d'une fonction. Ici sera pour nous le nombre de particules qui traversent une surface infiniment petite caractérisée par une normale .

correspond donc au nombre de particules qui traverserons cette surface. En fait, il s'agit de toutes les particules contenues dans le cylindre de base et de hauteur .

Figure 2 - Cylindre de base
Figure 2 - Cylindre de base et de hauteur

Définissons le flux comme le nombre de particules qui traversent la surface pendant .

Pour obtenir le flux on intègre sur une surface :

Retrouvons notre bilan :

On note que si les particules se déplacent dans le sens de elles sortent du volume étudié et donc doivent être comptées négativement.

Le théorème de flux-divergence (Ostrogradsky) donne :

On utilise les dérivées partielles car dépend de l'espace et du temps . Pas question ici d'utiliser les droits.

Pour faciliter la résolution on travaillera dorénavant uniquement selon une dimension ici .

On rappelle la loi phénoménologique de Fick :

Ce qui nous permet d'obtenir l'équation de diffusion suivante :

Etape 2 : Résoudre l'équation aux dérivées partielles

Avant de résoudre cette EDP il est nécessaire de fixer les conditions limites de notre problème.

Condition 1 : La totalité des particules se trouvent à à l'origine .

correspond à l'impulsion de Dirac, c'est une distribution.

Figure 3 - Représentation de l'impulsion de Dirac
Figure 3 - Représentation de l'impulsion de Dirac

Condition 2 : Les particules sont absentes à

La transformation de Fourier donne la transformée de Fourier :

Les rôles de et sont réciproques :

Reprenons la condition 1:

Nous pouvons maintenant substituer dans l'équation de diffusion :

On résoud l'équation différentielle

Puis on effectue la transformée de Fourier inverse pour retrouver :

Le premier changement de variable donne :

Le second changement de variable donne :

Merci à l'ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique
Merci à l'ouvrage de Mr PEREZ pour le graphique

Ci-dessus est représentée la fonction à trois dates différentes . Sans surprise les particules qui au début était en diffusent et la distribution s'élargit.

La largeur à mi-hauteur vaut :

Références

[1] José philippe PEREZ. Thermodynamique - Fondements et Applications. DUNOD, 3ème edition, 2001.