\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\input{agreg-preamble}
\lecon{LP38}{Aspects corpusculaires du rayonnement. Notion de photon}
\niveau{Fin de licence (L3). Les parties I et II sont accessibles en CPGE (MP, PC) ; la partie III.1 est un complément.}
\prerequis{Électromagnétisme (ondes planes, vecteur de Poynting, polarisation) ; thermodynamique et facteur de Boltzmann ; relativité restreinte ($E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$) ; mécanique quantique (oscillateur harmonique, opérateurs $\hat a$ et $\hat a^\dagger$) ; optique ondulatoire (interférences).}
\leconbiblio{\textsc{Aspect}, \textsc{Grangier}, \textsc{Fabre}, \emph{Introduction aux lasers et à l'optique quantique}, Ellipses ; \textsc{Grynberg}, \textsc{Aspect}, \textsc{Fabre}, \emph{Introduction to Quantum Optics}, Cambridge, chap.~5 ; \textsc{Cohen-Tannoudji}, \textsc{Dupont-Roc}, \textsc{Grynberg}, \emph{Photons et atomes}, EDP Sciences ; \textsc{Diu} \emph{et al.}, \emph{Physique statistique}, Hermann (corps noir) ; \textsc{Pérez}, \emph{Électromagnétisme}, Dunod (pression de radiation) ; \textsc{Basdevant}, \textsc{Dalibard}, \emph{Mécanique quantique}, École polytechnique ; \textsc{Hecht}, \emph{Optique}, Pearson. Articles : voir la bibliographie en fin de document.}

\fancyfoot[L]{\small LP38 -- Notion de photon}
\begin{document}
\maketitlelecon

\section*{Plan et minutage}
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[4,l] X[1,c]}, width=0.85\linewidth, hlines, vlines, row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, cells={valign=m}, rowsep=3pt}
Partie & Durée \\
Introduction : de Newton à Einstein & 2 min \\
I.1 Le corps noir et l'hypothèse de Planck & 6 min \\
I.2 L'effet photoélectrique et le quantum de lumière & 7 min \\
II.1 Énergie et masse du photon & 3 min \\
II.2 Quantité de mouvement : effet Compton, pression de radiation & 8 min \\
II.3 Moment cinétique et spin : expérience de Beth & 5 min \\
III.1 Le photon, excitation d'un mode du champ & 3 min \\
III.2 Preuves expérimentales : anticorrélation, interférences à un photon & 4 min \\
Conclusion : dualité et complémentarité & 2 min \\
\end{tblr}
\end{center}

\section*{Introduction}

En 1905, dans un article des \emph{Annalen der Physik} intitulé « Un point de vue heuristique concernant la production et la transformation de la lumière », Einstein interprète l'interaction entre la lumière et la matière à l'aide de \emph{Lichtquanten}, des quanta de lumière d'énergie $h\nu$. Il explique ainsi, entre autres, l'extraction d'électrons d'un métal par un rayonnement ultraviolet.

La description granulaire de la lumière est pourtant ancienne : les atomistes Démocrite et Épicure imaginaient des particules s'échappant des objets vers l'œil, et Newton (\emph{Opticks}, 1704) défendit une théorie corpusculaire. Les succès de la théorie ondulatoire, avec les interférences de Young (1801) et la diffraction de Fresnel (1818), puis l'unification électromagnétique de Maxwell (1865) semblaient l'avoir définitivement écartée.

Le quantum de lumière ne fut accepté que lentement : Einstein lui attribue une quantité de mouvement en 1917, Compton met celle-ci en évidence en 1923, et le mot \emph{photon} est proposé par le chimiste Gilbert Lewis en 1926. Il faudra attendre les années 1970--1980 et l'optique quantique (Kimble, Dagenais et Mandel en 1977 ; Grangier, Roger et Aspect en 1986) pour disposer de preuves directes et sans échappatoire de son existence.

\begin{transition}
Problématique : quelles expériences imposent une description corpusculaire du rayonnement, quelles sont les propriétés de la particule ainsi introduite, et en quel sens le photon est-il « une particule » ?
\end{transition}

\section{Naissance du quantum de lumière}

\subsection{Le rayonnement du corps noir et l'hypothèse de Planck}

\subsubsection{Faits expérimentaux}

\begin{definition}[Corps noir]
Un corps noir est un corps qui absorbe intégralement tout rayonnement incident, quelle que soit sa fréquence. À l'équilibre thermique à la température $T$, il émet un rayonnement dont la répartition spectrale ne dépend que de $T$ (Kirchhoff, 1860). Une cavité fermée percée d'un petit trou en est une excellente réalisation (figure~\ref{fig:cavite}) : un rayon entrant subit de multiples réflexions et absorptions avant de pouvoir ressortir.
\end{definition}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.62\linewidth]{figures/pdf/fig-corps-noir-cavite.pdf}
\caption{Réalisation d'un corps noir par une cavité isotherme percée d'un petit trou.}
\label{fig:cavite}
\end{figure}

On caractérise le rayonnement dans la cavité par sa densité spectrale d'énergie $u_\nu(\nu, T)$ (énergie par unité de volume et par unité de fréquence) ou par l'exitance spectrale $M_\nu = \frac{c}{4}u_\nu$ (puissance émise par unité de surface du trou et par unité de fréquence). Trois lois expérimentales étaient établies avant 1900 :
\begin{itemize}
  \item loi de Stefan (1879), interprétée par Boltzmann (1884) : $M = \sigma T^4$ avec $\sigma = \qty{5.670e-8}{\watt\per\square\metre\per\kelvin\tothe{4}}$ ;
  \item loi du déplacement de Wien (1893) : $\lambda_{\max} T = \qty{2.898e-3}{\metre\kelvin}$ ;
  \item mesures précises de Lummer et Pringsheim (1899) et de Rubens et Kurlbaum (1900) sur tout le spectre, de l'ultraviolet à l'infrarouge lointain.
\end{itemize}

\subsubsection{L'échec de la physique classique}

Le champ dans la cavité se décompose sur des ondes stationnaires (modes). Le nombre de modes de fréquence comprise entre $\nu$ et $\nu + \dd\nu$ dans un volume $V$ est $g(\nu)\dd\nu = \dfrac{8\pi V}{c^3}\nu^2\dd\nu$, le facteur 2 des polarisations compris. Le théorème d'équipartition attribue à chaque mode (deux degrés de liberté quadratiques) l'énergie moyenne $\kB T$, d'où la loi de Rayleigh (1900) et Jeans (1905) :
\[
u_\nu^{\mathrm{RJ}} = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}\kB T
\]
Cette loi décrit bien les grandes longueurs d'onde mais diverge aux hautes fréquences : l'énergie totale $\int u_\nu\dd\nu$ serait infinie. C'est la « catastrophe ultraviolette » (expression d'Ehrenfest, 1911), illustrée sur la figure~\ref{fig:catastrophe}.

\begin{attention}
La loi en $1/\lambda^4$ n'est pas une loi expérimentale de Rayleigh et Jeans : c'est une \emph{prédiction classique}, contredite par les mesures de Lummer, Pringsheim, Rubens et Kurlbaum aux courtes longueurs d'onde. Les notes manuscrites d'origine confondaient les deux.
\end{attention}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/pdf/fig-planck-catastrophe.pdf}
\caption{Densité spectrale d'énergie à $T = \qty{5800}{\kelvin}$ : loi de Planck, loi classique de Rayleigh--Jeans et approximation de Wien.}
\label{fig:catastrophe}
\end{figure}

\subsubsection{L'hypothèse de Planck et la loi du corps noir}

\begin{histoire}
Le 14 décembre 1900, Planck présente à la Société allemande de physique une dérivation de la loi qu'il avait d'abord devinée par interpolation en octobre. Il y introduit une « grandeur auxiliaire » (\emph{Hilfsgröße}) $h$ et suppose que les résonateurs matériels des parois n'échangent de l'énergie avec le rayonnement que par multiples entiers de $\varepsilon = h\nu$. Planck quantifie les échanges, pas le rayonnement lui-même : c'est Einstein qui franchira ce pas en 1905. En ajustant les mesures de Rubens et Kurlbaum, il obtient $h = \qty{6.55e-34}{\joule\second}$, à \qty{1}{\percent} de la valeur actuelle.
\end{histoire}

\begin{theoreme}[Loi de Planck (1900)]
Si l'énergie d'un mode de fréquence $\nu$ ne peut prendre que les valeurs $\varepsilon_n = nh\nu$ ($n \in \mathbb{N}$), la densité spectrale d'énergie du rayonnement d'équilibre à la température $T$ est
\[
u_\nu(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\exp\left(\dfrac{h\nu}{\kB T}\right) - 1}
\qquad\text{soit}\qquad
u_\lambda(\lambda, T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}\,\frac{1}{\exp\left(\dfrac{hc}{\lambda\kB T}\right) - 1}
\]
avec $h = \qty{6.62607015e-34}{\joule\second}$ (valeur exacte depuis 2019).
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
\textbf{Énergie moyenne d'un mode.} Les parois imposent la température $T$ : on utilise la distribution canonique avec $\beta = 1/\kB T$. La fonction de partition d'un mode est une série géométrique,
\[
Z = \sum_{n=0}^{\infty}\ee^{-\beta nh\nu} = \frac{1}{1 - \ee^{-\beta h\nu}}
\]
et l'énergie moyenne s'en déduit :
\[
\moy{\varepsilon} = -\pderiv{\ln Z}{\beta} = \frac{h\nu\,\ee^{-\beta h\nu}}{1 - \ee^{-\beta h\nu}} = \frac{h\nu}{\ee^{\beta h\nu} - 1}
\]
\textbf{Dénombrement des modes.} Dans une boîte cubique de côté $L$ avec des conditions aux limites périodiques, les vecteurs d'onde autorisés forment un réseau de maille $(2\pi/L)^3$ dans l'espace des $\vec k$. Le nombre de modes de norme inférieure à $k$, pour les deux polarisations, est $N(k) = 2\times\dfrac{4\pi k^3/3}{(2\pi/L)^3} = \dfrac{Vk^3}{3\pi^2}$. Avec $k = 2\pi\nu/c$,
\[
g(\nu)\dd\nu = \deriv{N}{\nu}\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\nu^2\dd\nu
\]
On retrouve ce résultat en divisant le volume de l'espace des phases $V\cdot 4\pi p^2\dd p$ par $h^3$ avec $p = h\nu/c$, ce qui anticipe la quantité de mouvement du photon (partie II.2).

\textbf{Conclusion.} L'énergie contenue dans la bande $\dd\nu$ est $\dd U = g(\nu)\moy{\varepsilon}\dd\nu$, d'où $u_\nu = \dfrac{1}{V}\dfrac{\dd U}{\dd\nu}$, qui est la loi annoncée. Le passage à $u_\lambda$ utilise $u_\lambda\abs{\dd\lambda} = u_\nu\abs{\dd\nu}$ avec $\nu = c/\lambda$.
\end{demonstration}

\begin{propriete}[Limites et conséquences]
\begin{itemize}
  \item $h\nu \ll \kB T$ : $\ee^{\beta h\nu} - 1 \approx \beta h\nu$ et l'on retrouve Rayleigh--Jeans ; la constante $h$ disparaît.
  \item $h\nu \gg \kB T$ : $u_\nu \approx \dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\ee^{-h\nu/\kB T}$, loi de Wien (1896) ; l'exponentielle supprime la catastrophe ultraviolette.
  \item L'intégration sur $\nu$ donne la loi de Stefan avec $\sigma = \dfrac{2\pi^5\kB^4}{15h^3c^2}$ ; la dérivation de $u_\lambda$ donne la loi de Wien avec $\lambda_{\max}T = \dfrac{hc}{4{,}965\,\kB}$.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/pdf/fig-planck.pdf}
\caption{Loi de Planck pour plusieurs températures et lieu des maxima (loi du déplacement de Wien).}
\label{fig:planck}
\end{figure}

\begin{odg}
Soleil ($T = \qty{5772}{\kelvin}$) : $\lambda_{\max} = \qty{502}{\nano\metre}$, au cœur du visible. Corps humain (\qty{310}{\kelvin}) : $\lambda_{\max} = \qty{9.3}{\micro\metre}$, infrarouge thermique. Fond diffus cosmologique mesuré par le satellite COBE (lancé en 1989) : corps noir quasi parfait à $T = \qty{2.725}{\kelvin}$, $\lambda_{\max} = \qty{1.06}{\milli\metre}$ ; ses anisotropies de $10^{-5}$ ont valu le prix Nobel 2006 à Mather et Smoot.
\end{odg}

\begin{remarque}
Le facteur $1/(\ee^{\beta h\nu} - 1)$ est le nombre moyen d'occupation d'un mode pour la statistique de Bose--Einstein à potentiel chimique nul : le rayonnement d'équilibre se comporte comme un gaz de bosons dont le nombre n'est pas conservé. Cette lecture, due à Bose (1924), n'a de sens qu'une fois le photon introduit.
\end{remarque}

\begin{transition}
Planck quantifie les échanges d'énergie entre matière et rayonnement. Einstein va plus loin : et si la lumière elle-même était constituée de quanta ?
\end{transition}

\subsection{L'effet photoélectrique et le quantum de lumière}

\subsubsection{Faits expérimentaux}

\begin{definition}[Effet photoélectrique]
L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un matériau (en général un métal) éclairé par un rayonnement de fréquence supérieure à un seuil $\nu_s$ caractéristique du matériau.
\end{definition}

\begin{histoire}
Hertz observe en 1887, alors qu'il vérifie la nature électromagnétique de la lumière, que l'ultraviolet facilite l'éclatement d'une étincelle. Hallwachs montre en 1888 qu'une plaque de zinc chargée négativement se décharge sous éclairement ultraviolet. Joseph John Thomson (1899) identifie les particules émises à des électrons. Lenard établit en 1902 que leur énergie cinétique dépend de la fréquence et non de l'intensité. Millikan vérifie la loi d'Einstein et mesure $h$ en 1916, après dix ans d'efforts pour la réfuter.
\end{histoire}

\begin{experience}[Électroscope de Hallwachs]
Une plaque de zinc fraîchement décapée est fixée sur un électroscope (figure~\ref{fig:hallwachs}). On la charge négativement : les feuilles s'écartent. Éclairée par une lampe à vapeur de mercure sans enveloppe de verre (riche en UV à \qty{254}{\nano\metre}), elle se décharge aussitôt. Une vitre, qui absorbe l'UV, supprime l'effet, de même qu'une lampe rouge même puissante. Chargée positivement, la plaque ne se décharge pas : les particules émises sont négatives. L'effet est instantané, sans délai mesurable (inférieur à quelques nanosecondes : Lawrence et Beams, 1928).
\end{experience}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/fig-hallwachs.pdf}
\caption{Expérience de Hallwachs : décharge d'une plaque de zinc chargée négativement sous éclairement ultraviolet.}
\label{fig:hallwachs}
\end{figure}

Les mesures quantitatives se font avec une cellule photoélectrique (figure~\ref{fig:cellule}) : une photocathode métallique et une anode dans une ampoule vide, une tension réglable $U = U_A - U_K$ et un microampèremètre. Pour $U > 0$, l'anode collecte tous les électrons émis et le courant sature ; pour $U < 0$, seuls les électrons d'énergie cinétique $E_c > e\abs{U}$ atteignent l'anode. Le courant s'annule pour $U = -V_{\text{arrêt}}$, avec $eV_{\text{arrêt}} = E_{c,\max}$.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-photoelectrique-montage.pdf}
\caption{Montage de mesure avec une cellule photoélectrique.}
\label{fig:cellule}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/fig-photo-IU.pdf}
\caption{Caractéristiques $I(U)$ d'une cellule au césium : le potentiel d'arrêt ne dépend pas de l'éclairement mais de la longueur d'onde.}
\label{fig:IU}
\end{figure}

Trois observations sont incompatibles avec une interprétation ondulatoire classique, dans laquelle le champ $\vec E$ de l'onde arracherait progressivement les électrons :
\begin{enumerate}
  \item il existe une fréquence seuil $\nu_s$ en dessous de laquelle aucun électron n'est émis, quelle que soit l'intensité ; classiquement, une onde suffisamment intense devrait toujours extraire des électrons ;
  \item l'énergie cinétique maximale des électrons est une fonction affine de $\nu$ et ne dépend pas de l'intensité, alors que la force de Lorentz, donc l'énergie communiquée, devrait croître avec l'amplitude du champ ;
  \item l'émission est instantanée même à très faible intensité, alors qu'un électron devrait classiquement accumuler l'énergie nécessaire pendant un temps mesurable.
\end{enumerate}

\begin{exemple}[Le temps d'accumulation classique]
Une lampe UV de \qty{1}{\watt} éclaire uniformément une plaque de zinc ($W_s = \qty{4.3}{\electronvolt}$) située à \qty{1}{\metre}. L'éclairement vaut $\qty{1}{\watt}/4\pi\,\si{\metre\squared} \approx \qty{8e-2}{\watt\per\square\metre}$. Un électron de la surface, sur une section de l'ordre de $(\qty{0.1}{\nano\metre})^2 = \qty{1e-20}{\square\metre}$, reçoit \qty{8e-22}{\watt} : il lui faudrait $\qty{6.9e-19}{\joule}/\qty{8e-22}{\watt} \approx \qty{15}{\minute}$ pour accumuler $W_s$. L'émission est pourtant immédiate.
\end{exemple}

\subsubsection{L'interprétation d'Einstein (1905)}

Einstein suppose que l'énergie lumineuse de fréquence $\nu$ est répartie en quanta indivisibles d'énergie $h\nu$, localisés, et qu'un électron du métal absorbe un quantum en entier. L'échange est une \emph{absorption} : le quantum disparaît et cède toute son énergie (les notes manuscrites parlaient de « collision inélastique », au sens où l'énergie cinétique n'est pas conservée).

\begin{theoreme}[Relation d'Einstein]
Pour extraire un électron du métal, il faut lui fournir au moins le travail de sortie $W_s$ (figure~\ref{fig:niveaux}). L'énergie cinétique maximale des électrons émis est
\[
E_{c,\max} = h\nu - W_s = eV_{\text{arrêt}}
\qquad\Longrightarrow\qquad
V_{\text{arrêt}} = \frac{h}{e}\,\nu - \frac{W_s}{e}
\]
L'effet n'existe que pour $h\nu \geq W_s$, soit $\nu \geq \nu_s = W_s/h$. Le nombre d'électrons émis par seconde, donc le courant de saturation, est proportionnel au flux de quanta, donc à l'intensité.
\end{theoreme}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.66\linewidth]{figures/pdf/fig-photoelectrique-niveaux.pdf}
\caption{Bilan d'énergie : travail de sortie et énergie cinétique maximale.}
\label{fig:niveaux}
\end{figure}

\begin{odg}
Travaux de sortie : césium \qty{2.14}{\electronvolt}, potassium \qty{2.30}{\electronvolt}, zinc \qty{4.3}{\electronvolt}, cuivre \qty{4.7}{\electronvolt}. Relation commode : $\lambda\,(\si{\nano\metre}) = 1240/E\,(\si{\electronvolt})$. Pour le césium, $\lambda_s = 1240/2{,}14 = \qty{579}{\nano\metre}$ : un laser rouge de \qty{10}{\watt} à \qty{650}{\nano\metre} (\qty{1.9}{\electronvolt}) n'extrait aucun électron par ce mécanisme, un laser bleu de \qty{1}{\milli\watt} à \qty{450}{\nano\metre} (\qty{2.8}{\electronvolt}) en extrait. À très forte intensité, des processus à plusieurs photons ou l'émission thermoïonique apparaissent : la règle vaut pour les intensités ordinaires.
\end{odg}

\begin{experience}[Mesure de la constante de Planck]
\textbf{Matériel.} Lampe à vapeur de mercure, jeu de filtres interférentiels (raies à 365, 405, 436, 546 et \qty{578}{\nano\metre}), cellule photoélectrique (cathode K ou Cs), alimentation réglable, voltmètre, microampèremètre ou amplificateur de courant.

\textbf{Protocole.} Pour chaque raie, relever $I(U)$ et déterminer la tension $-V_{\text{arrêt}}$ d'annulation du courant ; on peut aussi laisser la cellule se charger en circuit ouvert et lire la tension d'équilibre sur un voltmètre à très haute impédance (méthode de compensation). Tracer $V_{\text{arrêt}}$ en fonction de $\nu = c/\lambda$ (figure~\ref{fig:varret}) ; la pente vaut $h/e = \qty{4.136e-15}{\volt\second}$ et l'ordonnée à l'origine $-W_s/e$.

\textbf{Résultat et incertitudes.} Une régression linéaire sur cinq points donne $h$ à \qtyrange{3}{10}{\percent} près. L'incertitude dominante vient de la lecture de $V_{\text{arrêt}}$ : le courant s'annule lentement (dispersion des énergies, courant inverse dû aux électrons émis par l'anode éclairée par la lumière diffusée). On estime $u(V_{\text{arrêt}}) \approx \qty{0.05}{\volt}$. Le potentiel de contact entre les métaux de l'anode et de la cathode décale l'ordonnée à l'origine, pas la pente : $W_s$ est moins bien déterminé que $h$.

\textbf{Variante.} Avec des diodes électroluminescentes de longueurs d'onde connues, la tension de seuil $U_0$ d'émission vérifie approximativement $eU_0 \approx hc/\lambda$. C'est une méthode rapide mais grossière (\qtyrange{10}{20}{\percent}) : $eU_0$ mesure l'énergie de la bande interdite, liée à l'énergie des photons émis par le semi-conducteur, non l'inverse de l'effet photoélectrique.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/pdf/fig-photo-varret.pdf}
\caption{Potentiel d'arrêt en fonction de la fréquence (droite de Millikan) : pente universelle $h/e$, ordonnée à l'origine $-W_s/e$.}
\label{fig:varret}
\end{figure}

\begin{attention}[L'effet photoélectrique ne prouve pas le photon]
Lamb et Scully (1969) ont montré qu'un traitement \emph{semi-classique} (atome quantifié, champ classique) reproduit le seuil, la loi affine $E_c = h\nu - W_s$ et l'absence de délai : la fréquence seuil est une propriété des niveaux d'énergie de la matière, et la théorie des perturbations donne un taux de transition non nul dès l'allumage. Lenard, avec son « hypothèse du déclenchement » (l'énergie de l'électron proviendrait de l'atome, la lumière ne faisant que déclencher l'émission), cherchait déjà l'explication du côté de la matière. L'effet photoélectrique prouve la quantification des échanges d'énergie, pas celle de la lumière. La preuve décisive viendra de l'optique quantique (partie III).
\end{attention}

\begin{jury}[Pourquoi le prix Nobel 1921 pour cet effet ?]
Parce que l'hypothèse d'Einstein, prédictive (loi affine, universalité de la pente $h/e$ quel que soit le métal), a été confirmée par Millikan en 1916 alors que son auteur était le seul à y croire. La valeur de $h$ obtenue, $\qty{6.57e-34}{\joule\second}$, coïncidait avec celle de Planck tirée du corps noir, ce qui reliait deux phénomènes sans rapport apparent.
\end{jury}

\begin{transition}
Planck et Einstein établissent que les échanges d'énergie entre matière et rayonnement se font par quanta d'énergie $h\nu$. Reste à caractériser la particule responsable : masse, quantité de mouvement, moment cinétique.
\end{transition}

\section{Fiche d'identité du photon}

\subsection{Énergie et masse}

\begin{resultat}[Relation de Planck--Einstein]
À une onde monochromatique de fréquence $\nu$ et de pulsation $\omega = 2\pi\nu$ sont associés des photons d'énergie
\[
E = h\nu = \hb\omega, \qquad \hb = \frac{h}{2\pi} = \qty{1.054571817e-34}{\joule\second}
\]
\end{resultat}

Caractériser une particule, c'est donner sa relation de dispersion, c'est-à-dire la relation entre son énergie et sa quantité de mouvement, dans laquelle figure sa masse. La relation classique $E = p^2/2m$ ne convient pas à un objet qui se déplace à $c$ : le photon est nécessairement relativiste. Les relations de la relativité restreinte, publiée par Einstein la même année 1905, donnent
\[
E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}, \qquad \vec p = \gamma m\vec v, \qquad \vec v = \frac{\vec p c^2}{E}
\]

\begin{propriete}[Le photon a une masse nulle]
Deux arguments convergent.
\begin{itemize}
  \item Une particule de masse $m \neq 0$ a une vitesse $v = pc^2/E < c$ ; une particule qui se propage à $c$ a une énergie finie seulement si $m = 0$ (alors $E = pc$ et $v = c$ pour toute énergie).
  \item Il n'existe pas de borne inférieure à la fréquence d'un rayonnement : $E = h\nu$ peut être aussi petit que l'on veut. Or $E \geq mc^2$ pour toute particule ; la seule valeur compatible est $m = 0$. La masse étant un attribut intrinsèque, ce résultat vaut à toute fréquence.
\end{itemize}
Expérimentalement, l'exactitude de la loi de Coulomb en $1/r^2$ et l'étude des champs magnétiques planétaires imposent $m_\gamma c^2 < \qty{1e-18}{\electronvolt}$.
\end{propriete}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fig-spectre-photons.pdf}
\caption{Énergie des photons sur le spectre électromagnétique et quelques repères.}
\label{fig:spectre}
\end{figure}

\begin{exemple}[Un téléphone portable]
Un téléphone émet \qty{2}{\milli\watt} à \qty{1.8}{\giga\hertz} : $\lambda = c/\nu = \qty{16.7}{\centi\metre}$ et $E = h\nu = \qty{1.19e-24}{\joule} = \qty{7.4}{\micro\electronvolt}$, cent mille fois moins que l'énergie d'une liaison chimique (quelques \si{\electronvolt}) : ce rayonnement n'est pas ionisant. Le nombre de photons émis par seconde est $N = \mathcal P/h\nu = \num{1.7e21}$ : à cette échelle, la granularité est indétectable. Un laser hélium-néon de \qty{1}{\milli\watt} à \qty{633}{\nano\metre} ($E = \qty{1.96}{\electronvolt}$) émet $\num{3.2e15}$ photons par seconde ; l'œil adapté à l'obscurité perçoit un éclair d'une centaine de photons.
\end{exemple}

\begin{jury}[« Masse » du photon et $E = mc^2$]
Il est tentant d'écrire $m = h\nu/c^2$ : c'est confondre masse (invariant) et énergie. Un photon n'a pas de référentiel propre, ne peut être au repos, et sa « masse » ne figure ni dans la gravitation (la déviation de la lumière se déduit de la relativité générale sans masse du photon) ni dans la dynamique ($p = E/c$, pas $mv$).
\end{jury}

\subsection{Quantité de mouvement}

\subsubsection{Relation de de Broglie}

Avec $m = 0$, $E = pc$, soit $h\nu = pc$ et donc
\[
p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}, \qquad \vec p = \hb\vec k
\]
où $\vec k$ est le vecteur d'onde. Cette relation, écrite par Einstein en 1917 pour le photon, sera étendue par de Broglie en 1923 à toute particule : c'est la relation de dispersion la plus simple qui soit, et $(E/c, \vec p) = \hb(\omega/c, \vec k)$ montre que le quadrivecteur énergie-impulsion du photon est proportionnel au quadrivecteur d'onde.

\subsubsection{L'effet Compton (1923)}

\begin{experience}[Diffusion des rayons X par le graphite]
Compton envoie la raie K$\alpha$ du molybdène ($\lambda = \qty{70.9}{\pico\metre}$, $E = \qty{17.5}{\kilo\electronvolt}$) sur une cible de graphite et analyse, à l'angle $\theta$, le rayonnement diffusé avec un spectromètre à cristal de calcite (figure~\ref{fig:comptonmontage}). Il observe, à côté du pic à la longueur d'onde incidente, un second pic décalé vers les grandes longueurs d'onde (figure~\ref{fig:comptonspectre}), avec $\Delta\lambda = \lambda' - \lambda \approx \qty{2.4}{\pico\metre}\times(1 - \cos\theta)$, indépendant du matériau et de $\lambda$.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-compton-montage.pdf}
\caption{Principe de l'expérience de Compton.}
\label{fig:comptonmontage}
\end{figure}

La théorie classique (diffusion Thomson) prévoit que l'électron, mis en oscillation forcée par le champ, rayonne à la \emph{même} fréquence : aucun décalage n'est possible. Compton et Debye interprètent le décalage comme une collision élastique entre un photon et un électron libre au repos (figure~\ref{fig:comptongeom}).

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/fig-compton-geometrie.pdf}
\caption{Collision photon-électron : avant et après.}
\label{fig:comptongeom}
\end{figure}

\begin{theoreme}[Formule de Compton]
\[
\lambda' - \lambda = \lambda_C\,(1 - \cos\theta), \qquad \lambda_C = \frac{h}{m_ec} = \qty{2.426}{\pico\metre}
\]
$\lambda_C$ est la longueur d'onde de Compton de l'électron.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, l'électron étant initialement au repos ($E_e = m_ec^2$, $\vec p_e = \vec 0$) :
\[
E_\gamma + m_ec^2 = E'_\gamma + E'_e, \qquad \vec p_\gamma = \vec p\,'_\gamma + \vec p\,'_e
\]
On élimine l'électron diffusé grâce à sa relation de dispersion $E_e'^2 - p_e'^2c^2 = m_e^2c^4$ :
\[
\left(E_\gamma - E'_\gamma + m_ec^2\right)^2 - \left(\vec p_\gamma - \vec p\,'_\gamma\right)^2c^2 = m_e^2c^4
\]
Développons avec $p_\gamma c = E_\gamma$, $p'_\gamma c = E'_\gamma$ et $\vec p_\gamma\cdot\vec p\,'_\gamma = p_\gamma p'_\gamma\cos\theta$ :
\[
E_\gamma^2 + E_\gamma'^2 - 2E_\gamma E'_\gamma + 2m_ec^2\left(E_\gamma - E'_\gamma\right) - E_\gamma^2 - E_\gamma'^2 + 2E_\gamma E'_\gamma\cos\theta = 0
\]
soit $m_ec^2\left(E_\gamma - E'_\gamma\right) = E_\gamma E'_\gamma(1 - \cos\theta)$, ou encore
\[
\frac{1}{E'_\gamma} - \frac{1}{E_\gamma} = \frac{1 - \cos\theta}{m_ec^2}
\]
Avec $E_\gamma = hc/\lambda$, on obtient la formule annoncée. L'électron de recul emporte l'énergie cinétique $E_c = h\nu - h\nu'$, maximale pour la rétrodiffusion ($\theta = \pi$) : $E_{c,\max} = h\nu\,\dfrac{2h\nu/m_ec^2}{1 + 2h\nu/m_ec^2}$.
\end{demonstration}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}[c]{0.5\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{figures/pdf/fig-compton-deltalambda.pdf}
\end{subfigure}\hfill
\begin{subfigure}[c]{0.44\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{figures/pdf/fig-compton-spectre.pdf}
\end{subfigure}
\caption{À gauche : décalage Compton en fonction de l'angle de diffusion. À droite : allure des spectres diffusés par le graphite pour quatre angles (pic non décalé et pic décalé).}
\label{fig:comptonspectre}
\end{figure}

\begin{remarque}[deux pics]
Le pic non décalé provient des électrons fortement liés : c'est l'atome entier, de masse $M \gg m_e$, qui encaisse le recul, et le décalage $h/Mc$ est inobservable. La part du pic décalé croît avec $\theta$ ; celle du pic non décalé croît avec le numéro atomique de la cible, dont les électrons sont plus liés.
\end{remarque}

\begin{jury}[Pourquoi des rayons X ?]
Le décalage $\Delta\lambda \leq 2\lambda_C \approx \qty{5}{\pico\metre}$ ne dépend pas de $\lambda$. Il n'est mesurable que si $\lambda$ n'est pas trop grand devant $\lambda_C$ : en lumière visible, $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$, noyé dans la largeur des raies et masqué par la diffusion Thomson. Avec des rayons X de \qty{70}{\pico\metre}, $\Delta\lambda/\lambda \approx \qty{3}{\percent}$ à $\theta = 90^\circ$. De plus, il faut $h\nu \gg$ énergies de liaison des électrons de valence (quelques \si{\electronvolt}) pour que l'approximation de l'électron libre soit valable.
\end{jury}

\subsubsection{Pression de radiation}

Si une onde transporte des photons de quantité de mouvement $h\nu/c$, elle exerce une force sur toute surface qui les absorbe ou les réfléchit.

\begin{propriete}[Pression de radiation]
Une onde plane monochromatique d'éclairement $I$ (puissance par unité de surface) arrivant sous incidence normale exerce la pression
\[
P = \frac{I}{c}\ \text{(surface absorbante)}, \qquad P = \frac{2I}{c}\ \text{(surface parfaitement réfléchissante)}
\]
La densité volumique de quantité de mouvement de l'onde est $\vec g = \dfrac{\vec\Pi}{c^2}$ où $\vec\Pi$ est le vecteur de Poynting : le résultat corpusculaire coïncide avec celui de l'électromagnétisme de Maxwell.
\end{propriete}

\begin{demonstration}
Soit $\overline{n_\gamma}$ la densité de photons, tous de même fréquence et se propageant selon $+\vec e_x$ vers une surface $S$ parfaitement réfléchissante (figure~\ref{fig:pression}). Chaque photon arrive avec $\vec p = \dfrac{h\nu}{c}\vec e_x$ et repart avec $\vec p\,' = -\vec p$ ; la conservation de la quantité de mouvement dans la collision $\gamma + \text{cible} \to \text{cible}' + \gamma'$ impose que la cible reçoive $2\vec p$. Pendant $\dd t$, les photons contenus dans le cylindre de base $S$ et de longueur $c\,\dd t$ atteignent la surface : ils sont $\overline{n_\gamma}Sc\,\dd t$. D'où
\[
\dd\vec P_{\text{cible}} = 2\,\frac{h\nu}{c}\,\overline{n_\gamma}\,S\,c\,\dd t\;\vec e_x
\qquad\Longrightarrow\qquad
P = \frac{1}{S}\deriv{P_{\text{cible}}}{t} = 2\,\overline{n_\gamma}\,h\nu = \frac{2}{c}\,\overline{n_\gamma}\,h\nu\,c = \frac{2I}{c}
\]
puisque l'éclairement est $I = \overline{n_\gamma}\,h\nu\,c$ (énergie volumique $\times$ vitesse). Pour une surface absorbante, le transfert est $\vec p$ au lieu de $2\vec p$. Pour un rayonnement isotrope (corps noir), la moyenne sur les directions donne $P = u/3$.
\end{demonstration}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/fig-pression-radiation.pdf}
\caption{Bilan de quantité de mouvement sur une surface réfléchissante.}
\label{fig:pression}
\end{figure}

\begin{odg}
\begin{itemize}
  \item Constante solaire $I = \qty{1361}{\watt\per\square\metre}$ : $P = I/c = \qty{4.5}{\micro\pascal}$, soit $10^{-11}$ fois la pression atmosphérique. Mesurée en laboratoire par Lebedev (1901) et par Nichols et Hull (1901--1903) avec un radiomètre à torsion sous vide.
  \item Voile solaire IKAROS (JAXA, 2010) : \qty{196}{\square\metre}, poussée de \qty{1.1}{\milli\newton}. Pour un grain de poussière cométaire de rayon $R$ et de masse volumique $\rho$, le rapport force de radiation sur attraction solaire vaut $\dfrac{3L_\odot}{16\pi cGM_\odot\rho R}$, indépendant de la distance : il est de l'ordre de 1 pour $R \approx \qty{0.5}{\micro\metre}$ (avec $\rho \approx \qty{1}{\gram\per\cubic\centi\metre}$). C'est pourquoi la queue de poussières d'une comète est repoussée à l'opposé du Soleil.
  \item Une impulsion laser de \qty{1}{\joule} et \qty{1}{\nano\second} focalisée sur un disque de \qty{0.1}{\milli\metre} de diamètre : $P = \dfrac{E}{\Delta t\,c}\,\dfrac{4}{\pi d^2} \approx \qty{4e8}{\pascal}$ (absorption), soit quelques kilobars. Au Laser Mégajoule, c'est surtout la pression d'ablation du plasma, de l'ordre de \qty{1e13}{\pascal}, qui comprime la cible de fusion.
\end{itemize}
\end{odg}

\begin{exemple}[Ralentissement d'un jet d'atomes par laser]
Un jet d'atomes de sodium ($m = \qty{23}{u}$, $v \approx \qty{1000}{\metre\per\second}$) est éclairé par un laser contre-propageant accordé sur la raie D$_2$ ($\lambda = \qty{589}{\nano\metre}$, durée de vie du niveau excité $\tau = \qty{16}{\nano\second}$). À chaque absorption, l'atome reçoit $\hb\vec k$ dans la direction du laser ; l'émission spontanée qui suit rend $\hb\vec k\,'$ dans une direction aléatoire, de moyenne nulle. À saturation, l'atome effectue un cycle toutes les $2\tau$ environ :
\[
F \approx \frac{\hb k}{2\tau} = \frac{h}{2\lambda\tau} \approx \qty{3.5e-20}{\newton}, \qquad a = \frac{F}{m} \approx \qty{9e5}{\metre\per\square\second} \approx 10^5\,g
\]
Le jet est arrêté sur $v^2/2a \approx \qty{0.5}{\metre}$ (ralentisseur Zeeman de Phillips, 1982 ; prix Nobel 1997 avec Chu et Cohen-Tannoudji).
\end{exemple}

\subsection{Moment cinétique et spin}

\subsubsection{L'expérience de Beth (1936)}

Le 15 juillet 1936, Richard Beth publie dans la \emph{Physical Review} la détection mécanique du moment cinétique de la lumière. Une lame demi-onde en quartz est suspendue à un fil de quartz dans une enceinte à vide (figure~\ref{fig:beth}). Un faisceau polarisé circulairement la traverse de bas en haut ; la lame demi-onde inverse le sens de la polarisation circulaire. Le faisceau est renvoyé vers le bas par une lame quart d'onde fixe, aluminée sur sa face supérieure : l'aller-retour à travers cette lame inverse le sens de rotation du champ, de sorte que le second passage dans la lame demi-onde exerce un couple de même signe et double l'effet (un simple miroir l'annulerait). La lame subit un couple, mesuré par la méthode de résonance du pendule de torsion (période d'une dizaine de minutes) : en inversant la polarisation incidente en phase avec les oscillations, on amplifie celles-ci. L'amplitude et le signe du couple sont conformes à la théorie.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-beth.pdf}
\caption{Principe de l'expérience de Beth.}
\label{fig:beth}
\end{figure}

\subsubsection{Calcul classique du couple}

Prenons l'axe $Oz$ selon la propagation et les axes $Ox$, $Oy$ selon les lignes neutres de la lame, d'indices $n_x$ et $n_y$. Une onde polarisée circulairement entre en $z = 0$ ; dans la lame, les deux composantes se propagent à des vitesses différentes :
\[
\vec E = E_0\begin{pmatrix}\cos\left(\omega t - n_x\dfrac{\omega}{c}z\right)\\[8pt] \sin\left(\omega t - n_y\dfrac{\omega}{c}z\right)\\[4pt] 0\end{pmatrix}
\]
Le milieu est linéaire et anisotrope : la polarisation induite n'est pas colinéaire au champ, $P_x = \varepsilon_0(n_x^2 - 1)E_x$ et $P_y = \varepsilon_0(n_y^2 - 1)E_y$ (et non $\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E$ comme l'écrivaient les notes : $\vec P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E$ ; le terme $-1$ disparaît toutefois dans le produit vectoriel, de sorte que $\vec P\times\vec E = \vec D\times\vec E$). Le champ exerce sur les dipôles induits de chaque volume $\dd V$ un couple $\dd\vec\Gamma = \vec P\times\vec E\,\dd V$, dont seule la composante selon $z$ est non nulle :
\[
\dd\Gamma_z = (P_xE_y - P_yE_x)\,\dd V = \varepsilon_0E_0^2\,(n_x^2 - n_y^2)\cos\left(\omega t - n_x\frac{\omega}{c}z\right)\sin\left(\omega t - n_y\frac{\omega}{c}z\right)\dd V
\]
Avec $\cos a\sin b = \frac12[\sin(a + b) + \sin(b - a)]$, la moyenne temporelle vaut
\[
\moy{\dd\Gamma_z} = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\,(n_x^2 - n_y^2)\,\sin\left[(n_x - n_y)\frac{\omega}{c}z\right]\dd V
\]
Intégrons sur l'épaisseur $e$ de la lame (section $S$) :
\[
\frac{\moy{\Gamma_z}}{S} = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\,(n_x^2 - n_y^2)\,\frac{c}{(n_x - n_y)\omega}\left[1 - \cos\left((n_x - n_y)\frac{\omega e}{c}\right)\right]
\]
Pour une lame demi-onde, $(n_x - n_y)\omega e/c = \pi$ et le crochet vaut 2 :
\[
\frac{\moy{\Gamma_z}}{S} = \varepsilon_0E_0^2\,(n_x + n_y)\,\frac{c}{\omega} = \frac{2I}{\omega}
\]
où $I = \bar n\,\varepsilon_0cE_0^2$ est l'éclairement dans la lame ($\bar n = (n_x + n_y)/2$, deux composantes d'amplitude $E_0$).

\begin{resultat}[Moment cinétique de la lumière]
Un faisceau polarisé circulairement de puissance $\Phi$ et de pulsation $\omega$ transporte un flux de moment cinétique $\Phi/\omega$ selon sa direction de propagation (Poynting, 1909). Une lame demi-onde, qui inverse l'hélicité, reçoit le couple $\Gamma = 2\Phi/\omega$ ; une surface absorbante recevrait $\Phi/\omega$.
\end{resultat}

\subsubsection{Interprétation en photons}

Le faisceau transporte $\Phi/\hb\omega$ photons par seconde. Si le couple $2\Phi/\omega$ résulte du transfert de moment cinétique de chaque photon, chacun cède $2\hb$ : le photon polarisé circulairement porte un moment cinétique $\pm\hb$ selon sa direction de propagation, et la lame demi-onde fait passer de $+\hb$ à $-\hb$. Beth souligne que la théorie des quanta et la théorie électromagnétique prédisent le même couple ; c'est la cohérence de l'ensemble (énergie $\hb\omega$, impulsion $\hb k$, moment cinétique $\hb$) qui fait de cette expérience un argument fort.

\begin{propriete}[Spin et hélicité du photon]
Le photon est une particule de spin 1. Mais, parce que sa masse est nulle (ou, de manière équivalente, parce que le champ électromagnétique est transverse), seules les deux valeurs $\pm\hb$ de la projection du spin sur la direction de propagation existent : ce sont les deux hélicités, qui correspondent aux polarisations circulaires gauche et droite. La valeur $0$, qui correspondrait à une onde longitudinale, est absente. Une polarisation rectiligne est une superposition à poids égaux des deux hélicités et a un moment cinétique moyen nul.
\end{propriete}

\begin{odg}
Pour \qty{0.1}{\watt} de lumière à $\lambda = \qty{1.2}{\micro\metre}$ ($\omega = \qty{1.6e15}{\radian\per\second}$), le couple sur une lame demi-onde est $\Gamma = 2\Phi/\omega \approx \qty{1e-16}{\newton\metre}$. C'est l'ordre de grandeur mesuré par Beth, grâce à un pendule de torsion de constante de torsion très faible et à l'amplification par résonance. En 2016, He, Li et Li ont refait la mesure sur une puce photonique en silicium (guide d'onde biréfringent de \qty{10}{\micro\metre} couplé à une nano-poutre), sujet du concours spécial de l'agrégation 2018.
\end{odg}

\begin{jury}[Règles de sélection]
La conservation du moment cinétique lors de l'absorption d'un photon $\sigma^\pm$ impose $\Delta m = \pm 1$ pour l'atome : c'est l'origine des règles de sélection dipolaires électriques et des composantes $\sigma$ de l'effet Zeeman. Le pompage optique de Kastler (1950) exploite directement le transfert de moment cinétique des photons aux atomes.
\end{jury}

\begin{attention}[Le spin ne se déduit pas d'une équation d'onde « à la Schrödinger »]
L'équation de Schrödinger n'est pas relativiste ; l'équation de Klein--Gordon (1926) décrit des particules de spin 0 ; l'équation de Dirac (1928) des fermions de spin 1/2. Le photon relève de la quantification du champ de Maxwell lui-même (partie III) : il n'a pas de fonction d'onde au sens de Schrödinger ni d'opérateur position.
\end{attention}

\begin{transition}
Le photon a maintenant une fiche d'identité complète : masse nulle, énergie $\hb\omega$, impulsion $\hb\vec k$, hélicité $\pm\hb$. Mais de quoi parle-t-on exactement ? Et comment prouver qu'il existe « un par un » ?
\end{transition}

\section{Le photon de l'optique quantique}

\subsection{Le photon, excitation d'un mode du champ (pour aller plus loin)}

Les équations de Maxwell dans le vide, en jauge de Coulomb ($\divg\vec A = 0$, $V = 0$ en l'absence de charges), se réduisent à $\vec E = -\partial_t\vec A$, $\vec B = \rot\vec A$ et $\Box\vec A = \vec 0$. Le champ est un système continu ; l'idée, due à Dirac (1927), est de le décomposer sur ses modes propres, chacun étant un oscillateur harmonique, puis de quantifier ces oscillateurs. On se place dans un modèle à une dimension : onde se propageant selon $Ox$, polarisée selon $Oy$, dans une tranche de longueur $L$ et de section $S$ ($V = SL$) avec conditions aux limites périodiques.

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Modes.} $E(x, t) = \sum_l \ul{E_l}(t)\,\ee^{\ii k_lx}$ avec $k_l = 2\pi l/L$, $l \in \mathbb Z$, et de même pour $A$. L'équation de d'Alembert donne pour chaque mode $\ddot{\ul{E_l}} + \omega_l^2\ul{E_l} = 0$ avec $\omega_l = c\abs{k_l}$ : chaque mode est un oscillateur harmonique.
  \item \textbf{Énergie.} $\mathcal E = \displaystyle\int_V\left(\frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}\right)\dd V$ ; l'égalité de Parseval et $\ul{B_l} = \ii k_l\ul{A_l}$ donnent $\mathcal E = \sum_l\mathcal E_l$ avec $\mathcal E_l = \dfrac{\varepsilon_0V}{2}\left(\abs{\ul{E_l}}^2 + \omega_l^2\abs{\ul{A_l}}^2\right)$ : l'énergie est la somme des énergies des modes, sans couplage.
  \item \textbf{Variables conjuguées.} On pose $\dfrac{1}{\sqrt2}(Q_l + \ii P_l) = \dfrac{1}{E_{0,l}}\left(\ul{E_l} + \ii\omega_l\ul{A_l}\right)$ ; on vérifie $\dot Q_l = \omega_lP_l$ et $\dot P_l = -\omega_lQ_l$, et l'énergie prend la forme $\mathcal E_l = \dfrac{\hb\omega_l}{2}\left(Q_l^2 + P_l^2\right)$ à condition de choisir $E_{0,l} = \sqrt{\dfrac{2\hb\omega_l}{\varepsilon_0V}}$.
  \item \textbf{Quantification.} On impose $[\hat Q_l, \hat P_l] = \ii$ et l'on introduit $\hat a_l = \dfrac{1}{\sqrt2}(\hat Q_l + \ii\hat P_l)$, $\hat a_l^\dagger$, avec $[\hat a_l, \hat a_{l'}^\dagger] = \delta_{ll'}$. Alors
  \[
  \hat H = \sum_l\hb\omega_l\left(\hat a_l^\dagger\hat a_l + \frac12\right), \qquad \hat E(x) = \sum_l\sqrt{\frac{\hb\omega_l}{2\varepsilon_0V}}\left(\hat a_l\,\ee^{\ii k_lx} + \hat a_l^\dagger\,\ee^{-\ii k_lx}\right)
  \]
\end{enumerate}

\begin{resultat}[Le photon]
Les états propres de $\hat H$ sont les états de Fock $\ket{n_1, n_2, \dots}$, d'énergie $\sum_l\left(n_l + \frac12\right)\hb\omega_l$. Le photon est le quantum d'excitation d'un mode : $\hat a_l^\dagger$ crée un photon d'énergie $\hb\omega_l$ et d'impulsion $\hb k_l$ dans le mode $l$ ($\hat a_l^\dagger\ket{n_l} = \sqrt{n_l + 1}\,\ket{n_l + 1}$), $\hat a_l$ en détruit un. Le photon n'est pas une petite bille : c'est une excitation d'un mode, qui peut être une onde plane, un mode de cavité ou un paquet d'ondes localisé.
\end{resultat}

\begin{remarque}
L'opérateur champ $\hat E$ ne commute pas avec $\hat H$ : un état à nombre de photons déterminé a un champ électrique moyen nul mais des fluctuations non nulles ; inversement, un état de champ « classique » (état cohérent du laser) a un nombre de photons indéterminé, de statistique poissonnienne. Même pour $n_l = 0$, les fluctuations $\sqrt{\hb\omega_l/2\varepsilon_0V}$ subsistent : ce sont les fluctuations du vide, responsables de l'émission spontanée, du déplacement de Lamb (1947) et de l'effet Casimir (1948). Dans un cristal, la même construction appliquée aux vibrations du réseau définit les phonons.
\end{remarque}

\subsection{Preuves expérimentales du photon}

Les expériences décrites jusqu'ici admettent des interprétations semi-classiques. Une preuve sans échappatoire exige une source émettant les photons \emph{un par un} et un test qu'aucune onde classique ne peut réussir. C'est ce que réalisent Grangier, Roger et Aspect en 1986, après l'observation du dégroupement de photons par Kimble, Dagenais et Mandel en 1977.

\subsubsection{Une source de photons uniques}

Des atomes de calcium sont portés dans l'état $4p^2\,{}^1S_0$ par excitation à deux photons. Ils se désexcitent en cascade : un photon $\nu_1$ (\qty{551}{\nano\metre}) vers $4s4p\,{}^1P_1$, puis, après une durée de vie $\tau = \qty{4.7}{\nano\second}$, un photon $\nu_2$ (\qty{423}{\nano\metre}) vers l'état fondamental. La détection de $\nu_1$ ouvre une fenêtre de comptage de $w = \qty{9}{\nano\second}$ : pendant celle-ci, un photon $\nu_2$ et un seul est présent, pourvu que le taux d'excitation reste faible devant $1/w$. Depuis 2000, les centres NV du diamant (excitation à \qty{532}{\nano\metre}, émission vers \qtyrange{640}{750}{\nano\metre}) et les boîtes quantiques fournissent des sources de photons uniques à la demande.

\subsubsection{Anticorrélation sur une lame séparatrice}

Le photon $\nu_2$ est envoyé sur une lame semi-réfléchissante suivie de deux photodétecteurs $D_r$ et $D_t$ (figure~\ref{fig:anticorrelation}). On compte, pendant les fenêtres ouvertes par $N_{\text{porte}}$ photons $\nu_1$, les détections $N_r$, $N_t$ et les coïncidences $N_c$.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.92\linewidth]{figures/pdf/fig-anticorrelation.pdf}
\caption{Expérience d'anticorrélation de Grangier, Roger et Aspect (1986).}
\label{fig:anticorrelation}
\end{figure}

\begin{definition}[Paramètre d'anticorrélation]
\[
\alpha = \frac{P_c}{P_rP_t} = \frac{N_c\,N_{\text{porte}}}{N_r\,N_t}
\]
où $P_r$, $P_t$ et $P_c$ sont les probabilités de détection en $D_r$, en $D_t$ et en coïncidence pendant une fenêtre. Pour des photons uniques, le photon est réfléchi \emph{ou} transmis : on attend $\alpha = 0$.
\end{definition}

\begin{theoreme}[Inégalité classique]
Pour toute onde classique, $\alpha \geq 1$.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Pour une onde d'intensité $I(t)$, la lame envoie les intensités $rI$ et $tI$ sur les deux détecteurs, dont les probabilités de détection pendant une fenêtre sont proportionnelles aux intensités intégrées : $P_r = \eta_r r\overline{I}$, $P_t = \eta_t t\overline{I}$ et, les détecteurs étant indépendants, $P_c = \eta_r\eta_t\,rt\,\overline{I^2}$. L'inégalité de Cauchy--Schwarz $\overline{I^2} \geq \overline{I}^{\,2}$ donne $\alpha = \overline{I^2}/\overline{I}^{\,2} \geq 1$, avec égalité pour une intensité constante. Les fluctuations d'intensité d'une source classique (lampe thermique) ne peuvent que produire des coïncidences \emph{en excès} (groupement de photons, observé par Hanbury Brown et Twiss en 1956).
\end{demonstration}

Grangier, Roger et Aspect mesurent $\alpha = 0{,}18 \pm 0{,}06$, soit une violation de l'inégalité classique par plus de treize écarts-types. La valeur non nulle vient des coïncidences accidentelles dues à des atomes voisins émettant dans la même fenêtre. Avec la même source sans déclenchement, ou avec un laser atténué, on trouve $\alpha = 1$ : la statistique poissonnienne d'un faisceau atténué ne distingue pas le photon d'une onde classique. En termes de fonction de corrélation d'intensité, $\alpha = g^{(2)}(0)$ : $g^{(2)}(0) = 2$ pour une lampe thermique, $1$ pour un laser, $0$ pour un photon unique.

\begin{resultat}
Un photon unique arrivant sur une lame séparatrice n'est jamais détecté des deux côtés à la fois : le photon est insécable. C'est la première preuve directe de son existence, sans interprétation semi-classique possible.
\end{resultat}

\subsubsection{Interférences à un photon}

Les mêmes photons uniques sont envoyés dans un interféromètre de Mach--Zehnder (figure~\ref{fig:mz}) dont on fait varier la différence de marche $\Delta L$ par une cale piézo-électrique. Chaque photon est détecté en $D_1$ ou en $D_2$. Les nombres de coups $N_1(\Delta L)$ et $N_2(\Delta L)$, accumulés sur des milliers de photons, présentent des franges de visibilité $V = 0{,}98$ : un photon unique interfère « avec lui-même » (Dirac). La figure~\ref{fig:buildup} illustre l'émergence statistique des franges.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-mach-zehnder.pdf}
\caption{Interférences à un photon dans un Mach--Zehnder.}
\label{fig:mz}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fig-interference-photon.pdf}
\caption{Simulation de la construction d'une figure d'interférence photon par photon.}
\label{fig:buildup}
\end{figure}

\begin{propriete}[Complémentarité]
Avec la même source, la première expérience (lame unique) montre un comportement corpusculaire ($\alpha < 1$), la seconde (deux lames) un comportement ondulatoire ($V \approx 1$). Les deux ne peuvent pas être observés dans la même configuration : savoir par quel bras le photon est passé détruit les franges. Les figures d'interférence ne sont donc pas un effet collectif de nombreux photons ; la description correcte est l'amplitude de probabilité, qui se somme sur les chemins indiscernables.
\end{propriete}

\subsubsection{Choix retardé et coalescence}

\begin{experience}[Choix retardé (Jacques \emph{et al.}, 2007)]
Wheeler proposa en 1978 de décider \emph{après} l'entrée du photon dans l'interféromètre si la seconde lame sera présente (interférences) ou absente (chemin « connu »). L'expérience a été réalisée en 2007 par l'équipe de Roch, Aspect et Grangier avec des photons uniques issus d'un centre NV et un Mach--Zehnder de \qty{48}{\metre} (temps de vol \qty{160}{\nano\second}) : un générateur aléatoire commande un modulateur électro-optique qui insère ou retire la lame en \qty{40}{\nano\second}, après que le photon a franchi la première lame (figure~\ref{fig:choix}). Sans lame, $N_1 = N_2$ ; avec lame, franges de visibilité $0{,}94$. Il n'y a pas de « choix » préalable du photon entre onde et corpuscule.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.85\linewidth]{figures/pdf/fig-choix-retarde.pdf}
\caption{Expérience à choix retardé.}
\label{fig:choix}
\end{figure}

\begin{remarque}[coalescence de deux photons]
Hong, Ou et Mandel (1987) envoient deux photons identiques sur les deux entrées d'une lame séparatrice : ils ressortent toujours ensemble du même côté et les détecteurs ne coïncident jamais. C'est une interférence à deux photons entre bosons indiscernables, à la base de l'information quantique photonique. En 2012, deux équipes (Bristol ; Nice) ont même placé la seconde lame d'un choix retardé dans une superposition quantique « présente » et « absente », contrôlée par un photon auxiliaire intriqué.
\end{remarque}

\section*{Conclusion}

Le photon est né d'une hypothèse heuristique d'Einstein pour expliquer l'effet photoélectrique ; l'effet Compton lui a donné une quantité de mouvement, l'expérience de Beth un moment cinétique, la théorie quantique du champ un statut rigoureux : le quantum d'excitation d'un mode du champ électromagnétique. Les expériences d'optique quantique, depuis 1977, en ont apporté la preuve directe : insécable sur une lame séparatrice, il interfère pourtant avec lui-même.

Dans \emph{La Partie et le Tout}, Heisenberg rapporte une conversation avec Bohr sur la dualité onde-corpuscule : tous deux pensaient que cette disjonction cesserait un jour de paraître paradoxale, l'objet quantique étant plus riche qu'une onde ou qu'un corpuscule. C'est la leçon des expériences décrites ici : le photon n'est ni une onde ni une particule classiques, c'est un objet quantique dont le comportement dépend du dispositif de mesure. Ouvertures : sources de photons uniques et cryptographie quantique, intrication de photons (Aspect 1982, prix Nobel 2022), détection à comptage de photons en astronomie et en biologie.

\section*{Bibliographie}
\begin{enumerate}[label={[\arabic*]}, leftmargin=2.2em]
  \item A. Aspect, P. Grangier, C. Fabre, \emph{Introduction aux lasers et à l'optique quantique}, Ellipses, 1997 ; G. Grynberg, A. Aspect, C. Fabre, \emph{Introduction to Quantum Optics}, Cambridge University Press, 2010, chap.~5.
  \item C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg, \emph{Photons et atomes. Introduction à l'électrodynamique quantique}, EDP Sciences / CNRS Éditions.
  \item B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, \emph{Physique statistique}, Hermann (rayonnement du corps noir).
  \item J.-P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, \emph{Électromagnétisme}, Dunod (pression de radiation).
  \item J.-L. Basdevant, J. Dalibard, \emph{Mécanique quantique}, Éditions de l'École polytechnique.
  \item M. Planck, \emph{Verh. Dtsch. Phys. Ges.} \textbf{2}, 237 (1900) ; A. Einstein, \emph{Ann. Phys.} \textbf{17}, 132 (1905) ; R. A. Millikan, \emph{Phys. Rev.} \textbf{7}, 355 (1916).
  \item A. H. Compton, \emph{Phys. Rev.} \textbf{21}, 483 (1923).
  \item R. A. Beth, « Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light », \emph{Phys. Rev.} \textbf{50}, 115 (1936).
  \item W. E. Lamb, M. O. Scully, « The photoelectric effect without photons », dans \emph{Polarisation, matière et rayonnement}, PUF, 1969.
  \item H. J. Kimble, M. Dagenais, L. Mandel, \emph{Phys. Rev. Lett.} \textbf{39}, 691 (1977) ; P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, \emph{Europhys. Lett.} \textbf{1}, 173 (1986) ; C. K. Hong, Z. Y. Ou, L. Mandel, \emph{Phys. Rev. Lett.} \textbf{59}, 2044 (1987).
  \item V. Jacques \emph{et al.}, « Experimental realization of Wheeler's delayed-choice gedanken experiment », \emph{Science} \textbf{315}, 966 (2007).
  \item W. D. Phillips, « Laser cooling and trapping of neutral atoms » (conférence Nobel), \emph{Rev. Mod. Phys.} \textbf{70}, 721 (1998).
  \item L. He, H. Li, M. Li, \emph{Sci. Adv.} \textbf{2}, e1600485 (2016) ; sujet du concours spécial de l'agrégation de physique 2018, « Moment cinétique du photon et optomécanique ».
\end{enumerate}

\appendix
\section{Questions classiques du jury}

\begin{jury}[L'effet photoélectrique démontre-t-il l'existence du photon ?]
Non. Le modèle semi-classique de Lamb et Scully (1969) reproduit le seuil, la loi affine et l'instantanéité en quantifiant la matière et non le champ. Il démontre la quantification des échanges d'énergie. La preuve directe est l'anticorrélation sur une lame séparatrice avec une source de photons uniques ($\alpha < 1$).
\end{jury}

\begin{jury}[Que vaut $g^{(2)}(0)$ pour un laser, une lampe, une source de photons uniques ?]
$g^{(2)}(0) = 1$ pour un état cohérent (statistique de Poisson), $2$ pour une lumière thermique (groupement, Hanbury Brown et Twiss), $0$ pour un état à un photon (dégroupement). Toute source classique vérifie $g^{(2)}(0) \geq 1$.
\end{jury}

\begin{jury}[Pourquoi n'observe-t-on pas l'effet Compton en lumière visible ?]
Le décalage $\Delta\lambda \leq \qty{4.9}{\pico\metre}$ est indépendant de $\lambda$ : en visible il vaut $10^{-5}$ en relatif, inférieur aux largeurs de raie. De plus, l'électron n'est plus « libre » quand $h\nu$ est comparable à son énergie de liaison : la diffusion est alors élastique (Rayleigh ou Thomson).
\end{jury}

\begin{jury}[Pourquoi le photon n'a-t-il pas d'état de spin $m = 0$ ?]
Parce que sa masse est nulle : il n'existe pas de référentiel où il est au repos, et seules les hélicités $\pm 1$ sont définies de façon invariante. Du point de vue du champ, l'état $m = 0$ correspondrait à une onde longitudinale, interdite par $\divg\vec E = 0$ dans le vide.
\end{jury}

\begin{jury}[Le photon a-t-il une fonction d'onde ? une position ?]
Il n'existe pas d'opérateur position pour le photon ni de fonction d'onde $\psi(\vec r)$ dont le module carré serait une densité de probabilité de présence. On parle d'amplitude de détection (fonction de corrélation du champ) ; dire que « $\vec A$ est la fonction d'onde du photon » est un abus de langage commode mais inexact.
\end{jury}

\begin{jury}[Quelle est la pression de radiation du Soleil sur Terre ? À quoi sert-elle ?]
$I/c \approx \qty{4.5}{\micro\pascal}$. Négligeable au quotidien, elle propulse les voiles solaires, perturbe les orbites des satellites (effet Yarkovsky sur les astéroïdes), et domine la gravité pour les poussières submicrométriques des comètes.
\end{jury}

\begin{jury}[Comment Planck a-t-il obtenu la valeur de $h$ ?]
En ajustant sa loi aux mesures de Rubens et Kurlbaum dans l'infrarouge lointain (jusqu'à \qty{50}{\micro\metre}) et à celles de Lummer et Pringsheim. Il en a déduit simultanément $h$ et $k_B$, donc le nombre d'Avogadro et la charge élémentaire, avec une précision remarquable pour l'époque.
\end{jury}

\begin{jury}[Que devient le photon dans un milieu d'indice $n$ ?]
L'excitation élémentaire du champ dans la matière est un polariton (photon couplé aux excitations du milieu). Son énergie reste $\hb\omega$ ; sa quantité de mouvement est $n\hb\omega/c$ (forme de Minkowski) ou $\hb\omega/nc$ (forme d'Abraham) selon la part attribuée au milieu : les deux sont cohérentes une fois le bilan global écrit (controverse Abraham--Minkowski, résolue par Barnett en 2010).
\end{jury}

\begin{jury}[Peut-on mesurer $h$ en classe ?]
Oui, par le potentiel d'arrêt d'une cellule photoélectrique éclairée par les raies du mercure (précision de quelques pour cent), ou plus grossièrement avec des diodes électroluminescentes. Il faut discuter le potentiel de contact, la lumière parasite et la détermination de l'annulation du courant.
\end{jury}

\section{Opérateurs d'échelle de l'oscillateur harmonique}

Pour $\hat H = \dfrac{\hat p^2}{2m} + \dfrac12m\omega_0^2\hat x^2$, on pose $\hat X = \hat x/\Lambda$ et $\hat P = \Lambda\hat p/\hb$ avec $\Lambda = \sqrt{\hb/m\omega_0}$, de sorte que $[\hat X, \hat P] = \ii$ et $\hat H = \dfrac{\hb\omega_0}{2}\left(\hat X^2 + \hat P^2\right)$. Avec $\hat a = \dfrac{1}{\sqrt2}(\hat X + \ii\hat P)$ et $\hat a^\dagger = \dfrac{1}{\sqrt2}(\hat X - \ii\hat P)$, on a $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ et
\[
\hat H = \hb\omega_0\left(\hat a^\dagger\hat a + \frac12\right) = \hb\omega_0\left(\hat N + \frac12\right)
\]
De $[\hat N, \hat a] = -\hat a$ et $[\hat N, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger$, on déduit que si $\ket{n}$ est propre de $\hat N$ avec la valeur $n$, alors $\hat a\ket{n}$ et $\hat a^\dagger\ket{n}$ le sont avec $n - 1$ et $n + 1$. Comme $n = \norm{\hat a\ket{n}}^2 \geq 0$, la suite descendante s'arrête : il existe $\ket{0}$ tel que $\hat a\ket{0} = 0$, et les valeurs propres sont les entiers naturels. D'où $E_n = \left(n + \frac12\right)\hb\omega_0$, et, en normalisant, $\hat a\ket{n} = \sqrt n\,\ket{n - 1}$, $\hat a^\dagger\ket{n} = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1}$. Appliqué à chaque mode du champ, ce résultat fournit les états de Fock de la partie III.1.

\section{Erreurs et imprécisions corrigées par rapport aux notes manuscrites}

\begin{enumerate}[itemsep=1pt]
  \item $\lambda_C = h/m_ec = \qty{2.426}{\pico\metre}$, et non \qty{2.246}{\pico\metre} (inversion de chiffres).
  \item La loi en $1/\lambda^4$ de Rayleigh--Jeans est une prédiction classique (1900--1905), non un résultat expérimental ; les mesures sont de Lummer--Pringsheim et Rubens--Kurlbaum.
  \item Hallwachs : 1888 (et non 1988) ; Joseph John Thomson (et non « John Thomson ») ; Klein--Gordon : 1926 ; Hanbury Brown et Twiss : 1956 pour l'expérience optique ; Wheeler : 1978 pour la proposition du choix retardé (réalisation 2007).
  \item Énergie du photon à \qty{1.8}{\giga\hertz} : \qty{7.4}{\micro\electronvolt} (et non 7,6).
  \item Raie du sodium utilisée pour le ralentissement : \qty{589}{\nano\metre} (et non \qty{890}{\nano\metre}, erreur présente dans le document source).
  \item Pression de radiation de l'impulsion laser : $\approx \qty{4e8}{\pascal}$ avec la surface $\pi d^2/4$ (les notes utilisaient $\pi d^2$ et trouvaient \qty{1e8}{\pascal}).
  \item Polarisation du milieu anisotrope : $\vec P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E$ ; signe du couple en $(n_x^2 - n_y^2)$ ; intégration sur la lame demi-onde conduisant à $\Gamma = 2\Phi/\omega$, soit $2\hb$ par photon (les notes concluaient $\hb$ par un argument de puissance valable pour l'absorption).
  \item Le photon est de spin 1 avec deux hélicités $\pm\hb$ (et non « de spin $\pm\hb$ »).
  \item Le résultat $\alpha = 0{,}18 \pm 0{,}06$ est probant parce que toute théorie classique impose $\alpha \geq 1$ ; la visibilité des franges à un photon est de \qty{98}{\percent}.
  \item Centre NV : raie à zéro phonon à \qty{637}{\nano\metre}, émission \qtyrange{640}{750}{\nano\metre} ; sources de photons uniques NV depuis 2000, non depuis 1980 (en 1986 : cascade du calcium).
  \item L'effet photoélectrique est une absorption (le photon disparaît), pas une « collision inélastique » au sens mécanique ; l'affirmation sur le laser de \qty{10}{\watt} suppose une longueur d'onde supérieure au seuil.
  \item $\hb = \qty{1.054571817e-34}{\joule\second}$ et $h$ exact (CODATA 2018).
\end{enumerate}
\end{document}