% LP31-Fermat.tex — Principe de Fermat et ses applications
% Notes de cours retravaillées pour la préparation à l'agrégation de physique.
% Compilation : BeforeAdd/common/compile.sh LP31-Fermat/LP31-Fermat.tex (LuaLaTeX)
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\input{agreg-preamble}
\lecon{LP31}{Principe de Fermat et ses applications}
\niveau{Licence (L2--L3). Les lois de Snell--Descartes, la notion d'indice et l'ordre de grandeur
	de la diffraction sont supposés connus (première année) ; la leçon en donne une reconstruction
	à partir d'un principe unique.}
\prerequis{Équations de Maxwell dans un milieu linéaire, homogène et isotrope ; onde plane
	monochromatique, vecteur d'onde et vecteur de Poynting ; lois de Snell--Descartes ;
	gradient, base de Frenet, notion de dérivée d'une intégrale par rapport à un paramètre.}
\leconbiblio{J.-P. \textsc{Pérez}, \emph{Optique : fondements et applications}, Dunod, 7\textsuperscript{e} éd.,
	chap.~1--2 ; E.~\textsc{Hecht}, \emph{Optics}, Pearson, 5\textsuperscript{e} éd., §4.5 et §5.2 ;
	M.~\textsc{Born} et E.~\textsc{Wolf}, \emph{Principles of Optics}, Cambridge UP, chap.~3 et app.~I ;
	R.~\textsc{Feynman}, \emph{Cours de physique}, Mécanique~2, chap.~26--27, et \emph{Lumière et matière} ;
	\textsc{Sextant}, \emph{Optique expérimentale}, Hermann ; R.~\textsc{Duffait}, \emph{Expériences d'optique à l'agrégation}, Bréal ;
	L.~\textsc{Landau} et E.~\textsc{Lifchitz}, \emph{Théorie des champs} §53--54 et \emph{Mécanique} §44.}

\begin{document}
\maketitlelecon

\section*{Plan minuté}
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[3.2,l] X[0.7,c] X[2.6,l]}, width=0.98\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, cells={valign=m}, rowsep=3pt}
Partie & Durée & Point fort \\
Introduction : de Héron à Foucault & 3 min & accroche historique, problématique \\
I. Du modèle ondulatoire au rayon lumineux & 7 min & critère $\sin\theta \gtrsim \lambda/D$, chemin optique \\
II. Le principe de Fermat & 10 min & énoncé, \emph{stationnaire} $\neq$ minimal, sauveteur en mer \\
III. Milieux homogènes par morceaux & 9 min & Snell--Descartes démontrées, stigmatisme, Malus--Dupin \\
IV. Milieux inhomogènes & 9 min & équation des rayons, mirages, fibre, réfraction atmosphérique \\
Conclusion : l'analogie optico-mécanique & 2 min & Maupertuis, de Broglie, Feynman \\
\end{tblr}
\end{center}

\section*{Introduction}

Depuis l'Antiquité, on sait que la lumière se propage en ligne droite dans l'air et que le
rayon réfléchi par un miroir fait avec la normale le même angle que le rayon incident. Héron
d'Alexandrie (\textsc{i}\textsuperscript{er} siècle) remarque déjà que cette loi de la réflexion
découle d'une exigence géométrique : parmi tous les chemins brisés joignant deux points via le
miroir, la lumière emprunte \emph{le plus court}. La loi de la réfraction, plus difficile, est
établie expérimentalement par Snell (1621) et publiée par Descartes (1637, \emph{La Dioptrique})
avec une « démonstration » mécanique qui suppose la lumière \emph{plus rapide} dans l'eau que dans
l'air.

En 1657, Pierre de Fermat propose une idée radicalement différente : la lumière suit le chemin de
\emph{moindre temps}. Il en déduit en 1662 la loi de Snell--Descartes, à condition d'admettre que
la lumière est \emph{plus lente} dans les milieux denses. Deux siècles plus tard (1850), Foucault
mesure directement la vitesse de la lumière dans l'eau : elle y est inférieure à celle dans l'air.
Fermat avait raison.

\begin{transition}
Le principe de Fermat est ainsi le premier \emph{principe variationnel} de la physique : une loi
qui ne dit pas « comment la lumière avance pas à pas », mais quel trajet global elle emprunte. Nous
allons préciser ce qu'il énonce exactement (stationnarité et non minimum), en déduire toute
l'optique géométrique des milieux homogènes et inhomogènes, et montrer qu'il est lui-même une
conséquence des équations de Maxwell dans la limite des courtes longueurs d'onde.
\end{transition}

\section{Du modèle ondulatoire au rayon lumineux}

\subsection{Milieu de propagation et indice optique}

On considère un milieu matériel \textbf{linéaire} (la polarisation $\vec{P}$ est proportionnelle au
champ : $\vec{P} = \eps_0\chi\vec{E}$, d'où $\vec{D} = \eps_0(1+\chi)\vec{E}$), \textbf{homogène}
par morceaux ou lentement variable, \textbf{isotrope} ($\chi$ est un scalaire : $\vec{P}$ et $\vec{E}$
sont colinéaires) et \textbf{transparent} dans la bande spectrale considérée ($\chi$ réel : pas
d'absorption). Les équations de Maxwell y admettent des solutions en ondes planes monochromatiques
dont la vitesse de phase vaut $v_\varphi = c/\sqrt{1+\chi}$.

\begin{definition}[Indice optique]
L'indice optique du milieu est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à la vitesse de
phase de l'onde monochromatique dans le milieu :
\[
	n(\omega) = \frac{c}{v_\varphi(\omega)} = \sqrt{1+\chi(\omega)} \geqslant 1,
	\qquad c = \qty{299792458}{\metre\per\second}\ \text{(valeur exacte)}.
\]
L'indice dépend de la pulsation : c'est la \emph{dispersion} (loi de Cauchy $n = A + B/\lambda^{2}$
dans le visible pour les verres). L'inégalité $n \geqslant 1$ vaut pour les diélectriques transparents usuels dans le visible ; elle n'est pas générale ($n < 1$ pour les rayons X, ou au voisinage d'une résonance d'absorption).
\end{definition}

\begin{odg}[indices à \qty{589}{\nano\metre}]
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[1.6,l] X[c] X[1.6,l] X[c]}, width=0.9\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
Milieu & $n$ & Milieu & $n$ \\
air (\qty{0}{\celsius}, \qty{1013}{\hecto\pascal}) & $1{,}000\,29$ & PMMA (plexiglas) & $1{,}49$ \\
eau & $1{,}333$ & verre crown (BK7) & $1{,}517$ \\
éthanol & $1{,}361$ & verre flint & $1{,}6$ à $1{,}75$ \\
silice (fibres) & $1{,}458$ & diamant & $2{,}417$ \\
\end{tblr}
\end{center}
Pour l'air, la grandeur pertinente est l'écart $n - 1 \simeq \num{2.9e-4}$, proportionnel à la masse
volumique (loi de Gladstone) : il pilote toute la réfraction atmosphérique.
\end{odg}

\begin{attention}
$c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, constante fondamentale fixée par la définition du
mètre ; l'appellation « constante d'Einstein » désigne usuellement une autre grandeur
($\kappa = 8\pi G/c^{4}$, en relativité générale) et doit être évitée.
\end{attention}

\subsection{Le rayon lumineux et sa limite de validité}

Une onde plane est une idéalisation d'extension infinie. Dès qu'on la limite transversalement,
par une fente de largeur $D$, elle diverge : c'est la diffraction. Le spectre spatial d'une
fonction d'extension $\Delta x \sim D$ a une largeur $\Delta k_x \gtrsim 2\pi/D$ (relation de
Fourier) ; or $\sin\theta = \Delta k_x/k_0$ avec $k_0 = 2\pi/\lambda$, d'où le demi-angle du cône de
diffraction (figure~\ref{fig:rayon}) :
\[
	\boxed{\sin\theta \gtrsim \frac{\lambda}{D}}
\]

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/fig01-rayon-diffraction.pdf}
	\caption{Diffraction par une fente de largeur $D$ et notion de rayon lumineux : le rayon est la
	ligne droite de direction $\vec{k}_0$ que suit l'énergie lorsque la diffraction est négligeable.}
	\label{fig:rayon}
\end{figure}

\begin{definition}[Rayon lumineux]
Dans la limite $\lambda/D \to 0$ (longueur d'onde négligeable devant toute dimension des
obstacles et des inhomogénéités du milieu), l'énergie lumineuse se propage le long de courbes
appelées \emph{rayons lumineux} : ce sont les lignes de champ du vecteur de Poynting moyen
$\langle\vec{\Pi}\rangle$. Dans un milieu isotrope, le rayon est en tout point colinéaire au
vecteur d'onde local $\vec{k}$, donc perpendiculaire aux surfaces d'onde.
\end{definition}

\begin{remarque}
\begin{itemize}
	\item Le rayon est un objet géométrique (une courbe), non un pinceau de lumière : un faisceau
	laser contient une infinité de rayons. Le modèle ne dit rien de l'intensité, de la polarisation
	ni des interférences ; il décrit seulement \emph{où} va l'énergie.
	\item Ce qui se propage à la vitesse $c/n$ est la phase de l'onde monochromatique ; l'énergie se
	propage à la vitesse de groupe, égale à $c/n$ seulement si le milieu est non dispersif.
	\item Dans un milieu anisotrope (cristal biréfringent), rayon et vecteur d'onde ne sont plus
	colinéaires : la leçon se limite aux milieux isotropes.
\end{itemize}
\end{remarque}

\begin{exemple}[portée du modèle]
Faisceau laser de diamètre $D = \qty{1}{\milli\metre}$ à $\lambda = \qty{633}{\nano\metre}$ :
$\theta \simeq \lambda/D \simeq \qty{0.6}{\milli\radian}$. Après \qty{10}{\metre}, le faisceau
s'est élargi de l'ordre du centimètre (rayon accru de $\theta \times \qty{10}{\metre} \simeq \qty{6}{\milli\metre}$) : sur une table d'optique ($\sim\qty{1}{\metre}$), le
rayon rectiligne est une excellente description ; sur \qty{1}{\kilo\metre}, il ne l'est plus.
\end{exemple}

\subsection{Chemin optique}

Le long d'un rayon, la phase progresse à la vitesse $v = c/n$. Parcourir l'élément $\dd s$ prend
le temps $\dd t = \dd s/v = n\,\dd s/c$ ; pour aller de $A$ à $B$ le long d'une courbe $\mathcal{C}$,
\[
	\Delta t = \frac{1}{c}\int_{\mathcal{C}} n\,\dd s .
\]

\begin{definition}[Chemin optique]
Le chemin optique le long de la courbe $\mathcal{C}$ joignant $A$ à $B$ est
\[
	L_{\mathcal{C}}(AB) = \int_{\mathcal{C}} n\,\dd s = c\,\Delta t .
\]
C'est une longueur : la distance que la lumière aurait parcourue \emph{dans le vide} pendant la
même durée. Dans un milieu homogène, $L = n \times \text{longueur géométrique}$.
\end{definition}

\begin{propriete}[chemin optique et phase]
Pour une onde monochromatique, le déphasage entre $A$ et $B$ le long d'un rayon vaut
$\varphi_B - \varphi_A = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}\,L(AB) = k_0\,L(AB)$, où $\lambda_0$ est la longueur
d'onde dans le vide. Les \emph{surfaces d'onde} issues d'une source ponctuelle $S$ sont les
surfaces d'égal chemin optique $L(SM) = \cte$.
\end{propriete}

\begin{exemple}
Traverser \qty{1}{\metre} d'eau coûte $\Delta t = n\ell/c = \qty{4.4}{\nano\second}$, soit un chemin
optique $L = \qty{1.33}{\metre}$ ; une lame de verre de \qty{1}{\milli\metre} ($n = 1{,}5$) introduit un
retard de $\qty{0.5}{\milli\metre}$ de chemin optique, soit environ 800 longueurs d'onde dans le
visible : c'est la grandeur que mesurent les interféromètres.
\end{exemple}

\begin{transition}
Nous avons le vocabulaire : rayon, indice, chemin optique. Quel principe sélectionne, parmi toutes
les courbes joignant $A$ à $B$, celle que suit effectivement la lumière ?
\end{transition}

\section{Le principe de Fermat}

\subsection{Énoncé}

\begin{histoire}
Dans sa lettre à Cureau de la Chambre (août 1657), Fermat écrit que « la nature agit toujours par
les voies les plus courtes et les plus simples » et propose que la lumière suive le trajet de
\emph{moindre temps}. Sa \emph{Synthèse pour les réfractions} (1662) en déduit la loi des sinus.
L'énoncé moderne, en termes de \emph{stationnarité}, est dû aux travaux de Hamilton (1828--1837)
sur les systèmes de rayons.
\end{histoire}

\begin{theoreme}[Principe de Fermat]
Entre deux points $A$ et $B$ atteints par la lumière, le trajet effectivement suivi est celui le
long duquel le chemin optique est \textbf{stationnaire} : pour toute déformation infinitésimale du
trajet laissant $A$ et $B$ fixes, la variation du chemin optique est nulle au premier ordre,
\[
	\boxed{\delta L = L_{\mathcal{C}'} - L_{\mathcal{C}} = 0 \ \text{au premier ordre en } \delta\vec{M}}
	\qquad\text{soit}\qquad \delta \int_A^B n\,\dd s = 0 .
\]
Le temps de parcours étant $L/c$, cela revient à dire que la \emph{durée} du trajet est stationnaire.
\end{theoreme}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.62\linewidth]{figures/pdf/fig02-chemin-optique.pdf}
	\caption{Trajet réel $\mathcal{C}$ et trajet voisin $\mathcal{C}'$ obtenu en déplaçant chaque point
	de $\delta\vec{M}$ : $L' - L$ est un infiniment petit du second ordre.}
	\label{fig:chemin}
\end{figure}

\subsection{Stationnaire, pas nécessairement minimal}

\begin{attention}[erreur fréquente]
Le principe de Fermat n'affirme \emph{pas} que la lumière suit le chemin le plus court ni le plus
rapide. Le chemin effectif est un point critique de la fonctionnelle $L$ : minimum dans les cas les
plus courants, mais aussi parfois maximum ou simple point selle.
\end{attention}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fig05-stationnaire.pdf}
	\caption{Trois miroirs tangents en $P$ : pour le miroir elliptique de foyers $A$ et $B$, tous les
	chemins $AQB$ ont la même longueur $2a$ ; un miroir moins courbé (plan) rend $APB$ minimal, un
	miroir plus courbé le rend maximal.}
	\label{fig:stationnaire}
\end{figure}

\begin{demonstration}[le miroir elliptique]
Soit un miroir ayant la forme d'une ellipse de foyers $A$ et $B$ et de grand axe $2a$ : pour tout
point $Q$ du miroir, $AQ + QB = 2a$. Tous les chemins $AQB$ sont donc stationnaires (ils ont tous la
même longueur), et tout point de l'ellipse réfléchit effectivement $A$ sur $B$. Remplaçons
maintenant le miroir par une surface tangente à l'ellipse en $P$ :
\begin{itemize}
	\item si elle est \emph{moins courbée} que l'ellipse (par exemple le plan tangent), ses points
	$Q \neq P$ sont à l'extérieur de l'ellipse, donc $AQ + QB > 2a = AP + PB$ : le chemin $APB$ est un
	\textbf{minimum} ;
	\item si elle est \emph{plus courbée}, ses points sont à l'intérieur, $AQ + QB < 2a$ : le chemin
	$APB$ est un \textbf{maximum}.
\end{itemize}
Dans les trois cas, le rayon réfléchi en $P$ est le même : seule compte l'annulation de $\delta L$.
\end{demonstration}

\subsection{Premières conséquences}

\begin{propriete}[Milieu homogène : propagation rectiligne]
Si $n$ est uniforme, $L = n\,\ell$ où $\ell$ est la longueur de la courbe. La longueur est
stationnaire (et minimale) pour le segment de droite : dans un milieu homogène, les rayons sont des
droites.
\end{propriete}

\begin{propriete}[Retour inverse de la lumière]
Le chemin optique ne dépend pas du sens de parcours, $L(AB) = L(BA)$ : si la lumière va de $A$ à
$B$ par un trajet, elle va de $B$ à $A$ par le même trajet parcouru en sens inverse.
\end{propriete}

\begin{remarque}
Le retour inverse suppose un milieu \emph{réciproque}. Dans un milieu magnéto-optique soumis à
un champ magnétique (effet Faraday), l'indice des ondes circulaires dépend du sens de propagation :
c'est le principe des isolateurs optiques, qui violent le retour inverse.
\end{remarque}

\subsection{Une analogie : le sauveteur en mer}

Un sauveteur $S$ sur la plage doit atteindre un nageur $N$ en difficulté (figure~\ref{fig:sauveteur}).
Il court à $v_1 = \qty{5}{\metre\per\second}$ sur le sable et nage à $v_2 = \qty{1.5}{\metre\per\second}$.
La ligne droite n'est pas le chemin le plus rapide : il vaut mieux courir davantage et nager
moins. La durée du trajet passant par le point $I(x)$ du rivage est
\[
	t(x) = \frac{\sqrt{h_1^{2}+x^{2}}}{v_1} + \frac{\sqrt{h_2^{2}+(d-x)^{2}}}{v_2},
	\qquad
	\deriv{t}{x} = \frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2} = 0
	\ \Longleftrightarrow\ \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} .
\]
Avec $v_i = c/n_i$, c'est exactement la loi de Snell--Descartes $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.56\linewidth]{figures/pdf/fig13-sauveteur.pdf}
	\caption{Le sauveteur en mer : le chemin le plus rapide est une ligne brisée qui obéit à la loi
	des sinus.}
	\label{fig:sauveteur}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/fig14-sauveteur-temps.pdf}
	\caption{Durée du trajet en fonction du point d'entrée dans l'eau pour $h_1 = \qty{20}{\metre}$,
	$h_2 = \qty{30}{\metre}$, $d = \qty{80}{\metre}$ : le minimum ($x^{*} = \qty{71}{\metre}$) vérifie
	$\sin\theta_1/v_1 = \sin\theta_2/v_2$, à comparer à la ligne droite ($x = \qty{32}{\metre}$, dix secondes de plus).}
	\label{fig:sauveteur-temps}
\end{figure}

\begin{lstlisting}[caption={Minimisation numérique de la durée du trajet (SciPy).}]
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar

h1, h2, d = 20.0, 30.0, 80.0   # distances en m
v1, v2 = 5.0, 1.5              # vitesses : course, nage (m/s)

def temps(x):
    """Durée du trajet S -> I(x) -> N."""
    return np.sqrt(h1**2 + x**2) / v1 + np.sqrt(h2**2 + (d - x)**2) / v2

res = minimize_scalar(temps, bounds=(0, d), method="bounded")
x_opt = res.x
sin1 = x_opt / np.sqrt(h1**2 + x_opt**2)                 # sin(theta_1)
sin2 = (d - x_opt) / np.sqrt(h2**2 + (d - x_opt)**2)     # sin(theta_2)
print(f"x* = {x_opt:.1f} m, t* = {res.fun:.1f} s")        # 71.0 m, 35.6 s
print(f"{sin1/v1:.4f} = {sin2/v2:.4f}")                   # 0.1925 = 0.1925
\end{lstlisting}

\begin{jury}[« Comment la lumière sait-elle quel chemin prendre ? »]
Elle ne le sait pas : tous les chemins sont « explorés ». Dans la description ondulatoire
(Huygens--Fresnel), l'amplitude en $B$ est la somme des contributions $\ee^{\ii k_0 L}$ de tous les
trajets. Lorsque $\lambda_0 \to 0$, la phase $k_0 L$ varie très vite d'un trajet à l'autre et les
contributions s'annulent par interférence destructive, \emph{sauf} au voisinage du trajet où $L$
est stationnaire : là, les phases sont presque égales et s'ajoutent. Le principe de Fermat est un
théorème de \emph{phase stationnaire} ; c'est l'argument popularisé par Feynman dans \emph{Lumière
et matière}, et il explique pourquoi seule la stationnarité compte, non le minimum.
\end{jury}

\begin{transition}
Appliquons le principe à la situation la plus simple après le milieu homogène : deux milieux
homogènes séparés par une surface.
\end{transition}

\section{Milieux homogènes par morceaux}

\subsection{Variation du chemin optique d'un segment}

\begin{propriete}
Dans un milieu homogène d'indice $n$, le chemin optique du segment $AB$ est $L = n\,AB = n\,\vec{u}\cdot\vec{AB}$,
où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de $A$ vers $B$. Lorsque les extrémités se déplacent de
$\dd\vec{A}$ et $\dd\vec{B}$,
\[
	\boxed{\dd L = n\,\vec{u}\cdot\big(\dd\vec{B} - \dd\vec{A}\big)}
\]
\end{propriete}

\begin{demonstration}
$\dd L = n\,\dd(\vec{u}\cdot\vec{AB}) = n\,\vec{AB}\cdot\dd\vec{u} + n\,\vec{u}\cdot\dd\vec{AB}$.
Or $\vec{AB} = AB\,\vec{u}$ et $\vec{u}\cdot\vec{u} = 1$ entraîne $\vec{u}\cdot\dd\vec{u} = 0$ : le
premier terme est nul. Reste $\dd L = n\,\vec{u}\cdot(\dd\vec{B} - \dd\vec{A})$. Seule la composante
du déplacement \emph{le long du rayon} modifie le chemin optique au premier ordre.
\end{demonstration}

\subsection{Lois de Snell--Descartes}

Soient deux milieux homogènes d'indices $n_1$ et $n_2$ séparés par une surface $\Sigma$ (dioptre),
de normale $\vec{N}$ au point $I$ (figure~\ref{fig:refraction}). Le trajet $A_1 I A_2$ a pour chemin
optique
\[
	L = n_1\,A_1 I + n_2\,I A_2 .
\]

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figures/pdf/fig04-fermat-refraction.pdf}
	\caption{Réfraction : le point d'incidence $I$ est déplacé de $\delta\vec{I}$ \emph{dans} le dioptre ;
	la stationnarité de $L$ impose $n_2\vec{u}_2 - n_1\vec{u}_1 \parallel \vec{N}$.}
	\label{fig:refraction}
\end{figure}

\begin{demonstration}
Déplaçons le point d'incidence de $\delta\vec{I}$ tangent à $\Sigma$, $A_1$ et $A_2$ restant fixes.
D'après la propriété précédente ($\dd\vec{A} = \vec{0}$, $\dd\vec{B} = \delta\vec{I}$ pour le premier
segment ; $\dd\vec{A} = \delta\vec{I}$, $\dd\vec{B} = \vec{0}$ pour le second) :
\[
	\delta L = n_1\,\vec{u}_1\cdot\delta\vec{I} - n_2\,\vec{u}_2\cdot\delta\vec{I}
	= \big(n_1\vec{u}_1 - n_2\vec{u}_2\big)\cdot\delta\vec{I} .
\]
Le principe de Fermat impose $\delta L = 0$ pour \emph{tout} $\delta\vec{I}$ du plan tangent : le
vecteur $n_2\vec{u}_2 - n_1\vec{u}_1$ est orthogonal au plan tangent, donc colinéaire à la normale :
\[
	\boxed{n_2\,\vec{u}_2 - n_1\,\vec{u}_1 = a\,\vec{N}}\qquad (a \in \mathbb{R}).
\]
\end{demonstration}

\begin{theoreme}[Lois de Snell--Descartes pour la réfraction]
\begin{enumerate}
	\item $\vec{u}_2 = \dfrac{1}{n_2}\big(n_1\vec{u}_1 + a\vec{N}\big)$ : le rayon réfracté est dans le
	\emph{plan d'incidence} $(\vec{u}_1, \vec{N})$.
	\item En prenant le produit vectoriel par $\vec{N}$ : $n_2\,\vec{N}\times\vec{u}_2 = n_1\,\vec{N}\times\vec{u}_1$,
	soit, avec les angles orientés par rapport à la normale,
	\[
		\boxed{n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2}
	\]
\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[Loi de la réflexion]
Pour la réflexion, les deux segments sont dans le même milieu ($n_2 = n_1$) et la relation devient
$\vec{u}_2 - \vec{u}_1 = (a/n_1)\vec{N}$, d'où $\vec{N}\times\vec{u}_2 = \vec{N}\times\vec{u}_1$ : le
rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et $\sin i_2 = \sin i_1$. Cette équation admet deux
solutions, $\vec{u}_2 = \vec{u}_1$ (pas de miroir) et
$\vec{u}_2 = \vec{u}_1 - 2(\vec{u}_1\cdot\vec{N})\,\vec{N}$ ; la condition que le rayon réfléchi
reparte dans le milieu 1 sélectionne la seconde, soit, en angles orientés, $\boxed{i_2 = -i_1}$.
\end{theoreme}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figures/pdf/fig03-heron-reflexion.pdf}
	\caption{Construction de Héron : grâce à l'image $A'$ de $A$, le chemin $AIB$ se « déplie » en la
	droite $A'B$, plus courte que toute ligne brisée $A'JB$. Pour un miroir plan, le chemin
	stationnaire est un minimum.}
	\label{fig:heron}
\end{figure}

\begin{propriete}[Réflexion totale]
Si $n_1 > n_2$, la relation $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ n'a de solution que pour $i_1 \leqslant i_\ell$
avec
\[
	\boxed{\sin i_\ell = \frac{n_2}{n_1}}
\]
Au-delà, il n'existe pas de rayon réfracté : toute la lumière est réfléchie (réflexion totale).
\end{propriete}

\begin{odg}[angles limites vers l'air]
verre ($n = 1{,}5$) : $i_\ell = \ang{41.8}$ ; eau : $\ang{48.6}$ ; PMMA : $\ang{42.2}$ ; diamant :
$\ang{24.4}$ (d'où son éclat : presque toute la lumière entrée ressort par la table). Applications :
prismes à réflexion totale des jumelles, réfractomètre d'Abbe (mesure de $n$ par l'angle limite),
fibres optiques à saut d'indice.
\end{odg}

\begin{experience}[Lois de Snell--Descartes avec un hémicylindre]
\textbf{Matériel} : laser He-Ne ou diode (\qty{<1}{\milli\watt}), demi-cylindre de PMMA sur disque
gradué (figure~\ref{fig:hemicylindre}), écran.

\textbf{Protocole.} Le faisceau entre par la face courbe en visant le centre $O$ du disque : il
arrive selon un rayon du cylindre, donc sous incidence normale, et n'est pas dévié. Il atteint la
face plane en $O$ sous l'angle $i_1$ (lu sur le disque) et ressort dans l'air sous $i_2$. On fait
varier $i_1$ de \ang{0} à \ang{40} par pas de \ang{5} et on relève $i_2$ ; on observe l'apparition
de la réflexion totale vers $i_1 \simeq \ang{42}$.

\textbf{Exploitation.} On trace $\sin i_2$ en fonction de $\sin i_1$ : la régression linéaire
passant par l'origine donne la pente $n$. Valeurs attendues pour $n = 1{,}49$ :
$i_1 = \ang{10}, \ang{20}, \ang{30}, \ang{40} \Rightarrow i_2 = \ang{15.0}, \ang{30.6}, \ang{48.2}, \ang{73.3}$.

\textbf{Incertitudes.} Lecture des angles à $\pm\ang{0.5}$ (demi-graduation), tache laser de
quelques millimètres sur le cercle : $u(i) \simeq \ang{0.5}$ soit \qty{9}{\milli\radian} ;
$u(\sin i) = \cos i\,u(i)$. L'angle limite donne une seconde détermination indépendante,
$n = 1/\sin i_\ell$, avec $u(n)/n = u(i_\ell)/\tan i_\ell \simeq \qty{1}{\percent}$.

\textbf{Pièges.} Vérifier que le faisceau passe bien par le centre du disque (sinon la face courbe
dévie) ; travailler avec un faisceau fin et un disque de grand rayon ; indiquer la longueur d'onde
(dispersion).
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.62\linewidth]{figures/pdf/fig11-montage-hemicylindre.pdf}
	\caption{Montage de l'hémicylindre : le faisceau entre sans déviation par la face courbe et se
	réfracte (ou se réfléchit totalement) sur la face plane, au centre du disque gradué.}
	\label{fig:hemicylindre}
\end{figure}

\subsection{Stigmatisme et égalité des chemins optiques}

\begin{definition}[Stigmatisme rigoureux]
Un système optique est rigoureusement stigmatique pour le couple $(A, A')$ si tous les rayons
issus de $A$ passent par $A'$ après traversée du système. $A'$ est l'\emph{image} de $A$.
\end{definition}

\begin{theoreme}[Condition de stigmatisme]
Le système est rigoureusement stigmatique pour $(A, A')$ si et seulement si le chemin optique
$L(AA')$ est le même le long de tous les rayons issus de $A$.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}[idée]
Le principe de Fermat s'applique à chaque rayon $AA'$ ; mais si une \emph{famille continue} de
rayons issus de $A$ aboutit en $A'$, le chemin optique, stationnaire le long de chacun, ne peut
varier d'un rayon à l'autre : la variation de $L$ lorsqu'on passe d'un rayon de la famille à son
voisin est une variation à extrémités fixes, donc nulle. Réciproquement, le théorème de
Malus--Dupin (ci-dessous) montre que si $L(AM)$ est constant sur une sphère centrée en $A'$,
les rayons lui sont normaux et convergent en $A'$.
\end{demonstration}

\begin{exemple}[Miroir parabolique]
Pour la parabole de foyer $F$ et de directrice $\mathcal{D}$, $PF = PH$ ($H$ projeté de $P$ sur
$\mathcal{D}$). Un rayon parallèle à l'axe arrivant d'une surface d'onde plane $x = x_0$ parcourt
$QP + PF = QP + PH = QH = x_0 + f$ : même chemin optique quel que soit le rayon, donc stigmatisme
rigoureux pour $(\infty, F)$ (figure~\ref{fig:parabole}). C'est le principe des télescopes, des
antennes paraboliques et des fours solaires. De même, le miroir elliptique est stigmatique pour ses
foyers, le miroir plan pour tout couple (image virtuelle symétrique).
\end{exemple}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/pdf/fig09-parabole.pdf}
	\caption{Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique pour le couple $(\infty, F)$ :
	la propriété $PF = PH$ égalise les chemins optiques.}
	\label{fig:parabole}
\end{figure}

\begin{exemple}[Lentille]
Une lentille convergente est épaisse au centre, mince au bord : le rayon axial parcourt un chemin
géométrique plus court mais traverse plus de verre ($n > 1$) ; le rayon marginal parcourt un chemin
plus long mais moins de verre. L'égalité des chemins optiques entre $A$ et $A'$ n'est réalisée que
pour une forme de surface particulière (ovale de Descartes, ou lentille asphérique) : une lentille
à faces sphériques n'est stigmatique que dans les conditions de Gauss (stigmatisme \emph{approché}), à
l'exception notable des points de Weierstrass d'un dioptre sphérique, rigoureusement stigmatique pour un
unique couple de points (objectifs de microscope à immersion).
\end{exemple}

\subsection{Théorème de Malus--Dupin et équation eikonale}

Fixons la source $A$ et considérons le chemin optique $L(M) = L(AM)$ le long du rayon issu de $A$
qui aboutit en $M$ (fonction \emph{point caractéristique} de Hamilton). Déplaçons l'extrémité $M$
de $\dd\vec{M}$ : le trajet intermédiaire se réajuste, mais sa contribution à $\dd L$ est nulle par
le principe de Fermat (variation à extrémités fixes) ; seule subsiste la contribution de l'extrémité,
donnée par la formule du segment :
\[
	\dd L = n(M)\,\vec{u}(M)\cdot\dd\vec{M}
	\qquad\Longrightarrow\qquad
	\boxed{\grad L = n\,\vec{u}}\ .
\]

\begin{theoreme}[Malus--Dupin (1808--1816)]
Dans un milieu isotrope, les rayons issus d'une source sont en tout point orthogonaux aux surfaces
d'égal chemin optique (surfaces d'onde), et cette propriété se conserve après un nombre quelconque
de réflexions et de réfractions.
\end{theoreme}

\begin{propriete}[Équation eikonale]
En prenant la norme : $\big\|\grad L\big\| = n$, soit $(\grad L)^{2} = n^{2}$. Cette équation
relie la géométrie des surfaces d'onde à l'indice ; elle est le pont entre optique géométrique et
optique ondulatoire.
\end{propriete}

\begin{demonstration}[Du côté de Maxwell : la limite $\lambda_0 \to 0$]
Dans un milieu LHI non magnétique d'indice lentement variable, chaque composante du champ
monochromatique vérifie l'équation de Helmholtz $\Delta\psi + k_0^{2}n^{2}\psi = 0$. Cherchons une
solution de la forme $\psi = a(\vec{r})\,\ee^{\ii k_0 L(\vec{r})}$ ($a$ et $L$ réels, lentement
variables). On calcule
\[
	\Delta\psi = \Big[\Delta a + 2\ii k_0\,\grad a\cdot\grad L + \ii k_0\,a\,\Delta L - k_0^{2}\,a\,(\grad L)^{2}\Big]\ee^{\ii k_0 L},
\]
d'où, en reportant et en séparant les ordres en $k_0$ :
\[
	k_0^{2}\,a\big[n^{2} - (\grad L)^{2}\big] + \ii k_0\big[2\,\grad a\cdot\grad L + a\,\Delta L\big] + \Delta a = 0 .
\]
Lorsque $k_0 \to \infty$ ($\lambda_0 \to 0$), le terme dominant impose $(\grad L)^{2} = n^{2}$ :
c'est l'équation eikonale. Le terme suivant, $\divg(a^{2}\grad L) = 0$, exprime la conservation
de l'énergie le long des rayons. Les rayons sont les courbes tangentes à $\grad L$ ; on en déduit
l'équation des rayons du paragraphe suivant :
\[
	\deriv{}{s}(n\vec{u}) = \deriv{}{s}\grad L = (\vec{u}\cdot\grad)\grad L
	= \frac{1}{n}(\grad L\cdot\grad)\grad L
	= \frac{1}{n}\grad\!\Big(\frac{(\grad L)^{2}}{2}\Big) = \frac{1}{n}\grad\!\Big(\frac{n^{2}}{2}\Big) = \grad n .
\]
Le principe de Fermat n'est donc pas un postulat indépendant : c'est la limite des courtes
longueurs d'onde des équations de Maxwell.
\end{demonstration}

\begin{transition}
Le principe de Fermat redonne toutes les lois de l'optique géométrique élémentaire. Sa véritable
puissance apparaît dans les milieux où l'indice varie continûment, situation hors de portée des
lois de Snell--Descartes.
\end{transition}

\section{Milieux inhomogènes : courbure des rayons}

\subsection{Équation des rayons}

\begin{theoreme}[Équation des rayons]
Dans un milieu d'indice $n(\vec{r})$ continûment variable, le rayon $\vec{r}(s)$ paramétré par son
abscisse curviligne $s$, de vecteur tangent unitaire $\vec{u} = \dd\vec{r}/\dd s$, vérifie
\[
	\boxed{\deriv{}{s}\Big(n\,\deriv{\vec{r}}{s}\Big) = \grad n}
\]
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Soit $\mathcal{C}$ : $\vec{r}(s)$ le trajet réel entre $S_1$ et $S_2$ et $\mathcal{C}'$ : $\vec{r} + \delta\vec{r}$
un trajet voisin, avec $\delta\vec{r} = \vec{0}$ aux extrémités. Le chemin optique est
$L = \int n(\vec{r})\,\dd s$ avec $\dd s = \|\dd\vec{r}\|$. Au premier ordre,
\[
	\delta n = \grad n\cdot\delta\vec{r},
	\qquad
	\delta(\dd s) = \frac{\dd\vec{r}\cdot\delta(\dd\vec{r})}{\dd s} = \vec{u}\cdot\dd(\delta\vec{r}) ,
\]
donc
\[
	\delta L = \int_{S_1}^{S_2}\big(\grad n\cdot\delta\vec{r}\big)\,\dd s + \int_{S_1}^{S_2} n\,\vec{u}\cdot\dd(\delta\vec{r}) .
\]
Une intégration par parties de la seconde intégrale donne
$\big[n\,\vec{u}\cdot\delta\vec{r}\big]_{S_1}^{S_2} - \int \delta\vec{r}\cdot\dd(n\vec{u})$ ; le terme
tout intégré est nul (extrémités fixes). Ainsi
\[
	\delta L = \int_{S_1}^{S_2}\delta\vec{r}\cdot\Big[\grad n - \deriv{}{s}(n\vec{u})\Big]\dd s = 0
	\quad\text{pour tout } \delta\vec{r}
	\quad\Longrightarrow\quad \deriv{}{s}(n\vec{u}) = \grad n .
\]
C'est l'équation d'Euler--Lagrange de la fonctionnelle $L$.
\end{demonstration}

\begin{propriete}[Courbure d'un rayon]
En projetant l'équation des rayons sur la base de Frenet ($\vec{u} = \vec{e}_T$,
$\dd\vec{e}_T/\dd s = \vec{e}_N/R$ avec $\vec{e}_N$ dirigé vers le centre de courbure) :
\[
	\deriv{n}{s}\vec{e}_T + \frac{n}{R}\vec{e}_N = \grad n
	\qquad\Longrightarrow\qquad
	\boxed{\frac{1}{R} = \frac{1}{n}\,\grad n\cdot\vec{e}_N > 0}
\]
Le rayon de courbure étant positif, $\grad n\cdot\vec{e}_N > 0$ : \textbf{un rayon lumineux
s'incurve vers les régions d'indice croissant} (sa concavité est tournée du côté de $\grad n$).
La projection sur $\vec{e}_T$ redonne $\dd n/\dd s = \grad n\cdot\vec{e}_T$ (trivial) et celle
sur la binormale montre que le rayon est localement contenu dans le plan $(\vec{e}_T, \grad n)$.
\end{propriete}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.64\linewidth]{figures/pdf/fig06-gradient-courbure.pdf}
	\caption{Courbure d'un rayon dans un gradient d'indice : le centre de courbure est du côté des
	indices croissants.}
	\label{fig:courbure}
\end{figure}

\begin{propriete}[Milieu stratifié : loi de Snell--Descartes généralisée]
Si $n$ ne dépend que de $z$, la composante selon $x$ de l'équation des rayons donne
$\dd(n\,u_x)/\dd s = \partial n/\partial x = 0$, soit
\[
	\boxed{n(z)\sin i(z) = \cte}
\]
où $i$ est l'angle du rayon avec la direction $Oz$ du gradient. C'est la loi de Snell--Descartes
appliquée à une succession de couches infiniment minces.
\end{propriete}

\begin{experience}[Cuve à gradient d'indice]
\textbf{Matériel} : cuve parallélépipédique en verre (\qty{30}{\centi\metre} de long), eau, sucre
(\qty{\approx 1}{\kilo\gram}), laser, écran (figure~\ref{fig:cuve}).

\textbf{Préparation} (la veille) : verser au fond une solution de sucre saturée ($n \simeq 1{,}45$),
puis, très lentement et à travers un flotteur, de l'eau pure ($n = 1{,}333$) ; la diffusion crée en
quelques heures un gradient continu de concentration, donc d'indice, sur une dizaine de
centimètres.

\textbf{Observation.} Un faisceau laser horizontal lancé dans la zone de gradient se courbe
\emph{vers le bas}, du côté des indices croissants ; envoyé obliquement vers le bas, il peut se
retourner (réflexion totale « continue ») : c'est un mirage inférieur inversé. On visualise le trajet
grâce à la diffusion (une pointe de lait ou de fluorescéine).

\textbf{Exploitation.} Avec $n(z)$ approximativement linéaire, la mesure du rayon de courbure
$R$ (ajustement d'un cercle sur la photographie du faisceau) donne $\dd n/\dd z = n/R$ ; pour
$R \simeq \qty{0.5}{\metre}$, $\dd n/\dd z \simeq \qty{3}{\per\metre}$, cohérent avec
$\Delta n \simeq 0{,}1$ sur \qty{4}{\centi\metre}.

\textbf{Pièges.} Ne pas agiter la cuve ; éviter les bulles ; l'alcool, moins dense mais d'indice
\emph{plus élevé} que l'eau ($1{,}36$ contre $1{,}33$), donne au contraire un gradient d'indice
croissant vers le haut, donc un faisceau qui s'incurve vers le haut : bon contre-exemple pour tester
la compréhension du signe.
\end{experience}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.62\linewidth]{figures/pdf/fig12-montage-cuve.pdf}
	\caption{Cuve à gradient d'indice : le faisceau laser s'incurve vers le bas, où l'indice est le plus
	élevé.}
	\label{fig:cuve}
\end{figure}

\subsection{Mirages}

Au-dessus d'une route surchauffée, l'air est plus chaud, donc moins dense, près du sol : à
pression constante, $n - 1 \propto \rho \propto 1/T$, et $n$ \emph{croît} avec l'altitude. Un rayon
venant du ciel et descendant obliquement voit $n$ diminuer : d'après $n\sin i = \cte$, son angle $i$
avec la verticale augmente jusqu'à \ang{90}, puis le rayon remonte (figure~\ref{fig:mirage}a).
L'observateur reçoit sous l'horizon de la lumière venant du ciel : il « voit » une flaque brillante
qui reflète le ciel et qui recule quand on s'en approche. C'est le \textbf{mirage inférieur}.

Au-dessus d'une mer froide (inversion de température, $n$ décroît rapidement avec $z$), les rayons
s'incurvent vers le bas et un objet situé derrière l'horizon apparaît surélevé, parfois dédoublé :
\textbf{mirage supérieur}, ou \emph{Fata Morgana} (figure~\ref{fig:mirage}b).

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fig07-mirage.pdf}
	\caption{(a) Mirage inférieur : l'image virtuelle du ciel apparaît sous l'horizon ; (b) mirage
	supérieur : l'objet apparaît au-dessus de sa position réelle.}
	\label{fig:mirage}
\end{figure}

\begin{odg}[mirage inférieur]
Pour un écart de \qty{40}{\kelvin} sur \qty{15}{\centi\metre} au-dessus du sol,
$\dd n/\dd z \simeq (n-1)\dfrac{1}{T}\Big|\dfrac{\dd T}{\dd z}\Big| \sim \qty{1e-4}{\per\metre}$ et
$R = n/(\dd n/\dd z) \sim \qty{10}{\kilo\metre}$. Un rayon de courbure aussi grand ne retourne que
des rayons \emph{rasants} : l'écart total d'indice entre le sol et \qty{2}{\metre} d'altitude,
$\Delta n \sim \num{3e-5}$, limite l'angle de visée sous l'horizon à
$\theta \simeq \sqrt{2\Delta n} \simeq \qty{0.5}{\degree}$ (figure~\ref{fig:trajectoires}a). C'est
pourquoi le mirage n'est visible qu'au ras du sol et à plus d'une centaine de mètres.
\end{odg}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.98\linewidth]{figures/pdf/fig15-trajectoires.pdf}
	\caption{Intégration numérique de l'équation des rayons. (a) Rayons issus de l'œil (retour inverse)
	au-dessus d'une route chaude : seules les visées à moins de \ang{0.5} sous l'horizon se retournent
	vers le ciel. (b) Fibre à gradient d'indice parabolique : trajectoires quasi sinusoïdales de même
	période quelle que soit l'inclinaison.}
	\label{fig:trajectoires}
\end{figure}

\subsection{Fibres optiques}

Dans une \textbf{fibre à saut d'indice} (cœur $n_1$, gaine $n_2 < n_1$), la lumière est guidée par
réflexion totale (figure~\ref{fig:fibre}a). Un rayon entrant depuis l'air sous l'angle $\theta$ fait
dans le cœur l'angle $\theta'$ avec l'axe, $\sin\theta = n_1\sin\theta'$, et subit la réflexion totale
sur la gaine si $\cos\theta' \geqslant n_2/n_1$ ; d'où le cône d'acceptance
\[
	\boxed{\sin\theta_a = \sqrt{n_1^{2} - n_2^{2}}} \qquad\text{(ouverture numérique)} .
\]
Pour $n_1 = 1{,}48$ et $n_2 = 1{,}46$ : $\sin\theta_a = 0{,}24$, $\theta_a \simeq \ang{14}$. Mais les rayons
inclinés parcourent un chemin plus long que le rayon axial : une impulsion s'étale (dispersion
intermodale, $\sim\qty{50}{\nano\second\per\kilo\metre}$), ce qui limite le débit.

La \textbf{fibre à gradient d'indice} corrige ce défaut avec un profil parabolique
$n^{2}(r) = n_0^{2}\big[1 - 2\Delta\,(r/a)^{2}\big]$. Pour des rayons peu inclinés ($\dd s \simeq \dd z$,
$n \simeq n_0$), l'équation des rayons projetée sur $Ox$ devient
\[
	n_0\,\dderiv{x}{z} = \pderiv{n}{x} \simeq -\frac{2 n_0\Delta}{a^{2}}\,x
	\qquad\Longrightarrow\qquad
	x(z) = x_0\cos\Big(\frac{\sqrt{2\Delta}}{a}\,z + \varphi\Big),
	\qquad \Lambda = \frac{2\pi a}{\sqrt{2\Delta}} .
\]
Tous les rayons sont refocalisés périodiquement sur l'axe (figure~\ref{fig:trajectoires}b) ; les
rayons les plus écartés voyagent dans des régions d'indice plus faible, donc plus vite : la
dispersion intermodale est réduite d'un facteur $8/\Delta \sim 10^{3}$ (étalement $n_0\Delta^{2}L/8c$ au lieu de $n_0\Delta L/c$). Pour $a = \qty{25}{\micro\metre}$ et
$\Delta = \qty{1}{\percent}$, $\Lambda = \qty{1.1}{\milli\metre}$.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/fig08-fibre.pdf}
	\caption{(a) Fibre à saut d'indice : guidage par réflexions totales dans le cône d'acceptance.
	(b) Fibre à gradient d'indice : profil parabolique et trajectoires sinusoïdales.}
	\label{fig:fibre}
\end{figure}

\begin{experience}[Guidage de la lumière]
\emph{Fontaine lumineuse} (Colladon, 1841) : un laser éclaire par l'arrière l'orifice d'un
récipient d'eau ; le jet qui s'en échappe guide la lumière par réflexions totales successives et
s'illumine là où il se brise. \emph{Fibre de PMMA} de \qty{1}{\metre} : mesurer l'ouverture numérique
en relevant le diamètre $d$ du cône de sortie sur un écran à la distance $D$,
$\sin\theta_a \simeq d/(2D)$, et comparer à $\sqrt{n_1^{2} - n_2^{2}}$ (fiche constructeur, typiquement
$0{,}5$ pour le plastique). Montrer qu'un fort rayon de courbure de la fibre fait fuir la lumière
(perte du guidage quand $i < i_\ell$).
\end{experience}

\subsection{Réfraction atmosphérique}

L'atmosphère est un milieu stratifié à symétrie sphérique : $n = n(r)$, décroissant de
$n_0 \simeq 1{,}000\,29$ au sol à $1$ en haut. Multiplions vectoriellement l'équation des rayons par
$\vec{r}$ :
\[
	\deriv{}{s}\big(\vec{r}\times n\vec{u}\big) = \underbrace{\vec{u}\times n\vec{u}}_{\vec{0}} + \vec{r}\times\grad n = \vec{0},
	\qquad\text{car } \grad n = n'(r)\,\vec{r}/r \parallel \vec{r} .
\]

\begin{propriete}[Invariant de Bouguer (1729)]
Dans un milieu à symétrie sphérique, $\vec{r}\times n\vec{u}$ est conservé le long d'un rayon :
\[
	\boxed{n(r)\,r\,\sin i = \cte}
\]
où $i$ est l'angle du rayon avec la verticale locale. C'est l'analogue du moment cinétique dans un
champ de force central ; le rayon reste dans un plan contenant le centre de la Terre.
\end{propriete}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.66\linewidth]{figures/pdf/fig10-bouguer.pdf}
	\caption{Réfraction atmosphérique : le rayon s'incurve vers le sol (indices croissants) et
	l'astre paraît plus haut qu'il n'est, d'un angle $\varepsilon = \zeta_0 - \zeta$.}
	\label{fig:bouguer}
\end{figure}

Comme l'épaisseur utile de l'atmosphère ($h \sim \qty{10}{\kilo\metre}$, troposphère) est petite
devant $R_T = \qty{6400}{\kilo\metre}$, on peut, loin de l'horizon, la traiter comme plane :
$n\sin i = \cte$. Entre le haut de l'atmosphère ($n = 1$, le rayon fait avec la verticale l'angle
zénithal vrai $\zeta_0$ de l'étoile) et le sol ($n_0$, angle zénithal apparent $\zeta$) :
\[
	\sin\zeta_0 = n_0\sin\zeta
	\quad\Longrightarrow\quad
	\sin(\zeta + \varepsilon) \simeq \sin\zeta + \varepsilon\cos\zeta = n_0\sin\zeta
	\quad\Longrightarrow\quad
	\boxed{\varepsilon \simeq (n_0 - 1)\tan\zeta}
\]
L'astre paraît \emph{relevé} vers le zénith. Numériquement, $n_0 - 1 = \num{2.8e-4}$ donne
$\varepsilon \simeq 58''\,\tan\zeta$ : $1'$ à $\zeta = \ang{45}$, $5'$ à \ang{80}.

\begin{attention}[limite de l'atmosphère plane]
La formule diverge à l'horizon ($\tan\zeta \to \infty$) : il faut alors tenir compte de la courbure
des couches (invariant de Bouguer) et du profil réel de densité. La réfraction à l'horizon vaut
environ $34'$ à $35'$ (formule empirique de Bennett), soit \emph{plus} que le diamètre apparent du
Soleil ($32'$) : quand le bord inférieur du Soleil semble toucher l'horizon, le disque entier est
déjà géométriquement couché. Le lever est avancé et le coucher retardé de deux à
trois minutes environ aux latitudes moyennes.
\end{attention}

\begin{exemple}[Soleil aplati et rayon vert]
Au coucher, le bord inférieur ($\zeta \simeq \ang{90}$) est relevé de $35'$, le bord supérieur
($\zeta \simeq \ang{89.5}$) de $29'$ seulement : le diamètre vertical apparent est réduit d'environ
$6'$, soit \qty{20}{\percent} ; le diamètre horizontal est inchangé. Comme $n_0 - 1$ dépend de
$\lambda$ (plus grand dans le bleu), l'image bleue du Soleil est relevée d'environ $0{,}5'$ (une
trentaine de secondes d'arc) de plus que l'image rouge, l'image verte d'environ $15''$ : au dernier
instant, le bord supérieur n'est plus formé que par les courtes longueurs d'onde. Cette séparation est
inférieure au pouvoir séparateur de l'œil ($\simeq 1'$) : le phénomène est très bref et il est le plus
souvent amplifié par un mirage (couche d'inversion). Le bleu étant diffusé par l'atmosphère (diffusion Rayleigh en $1/\lambda^{4}$), il
reste le \emph{rayon vert}, observable par temps très clair sur un horizon marin.
\end{exemple}

\begin{jury}[Le mirage est-il une illusion d'optique ?]
Non : c'est une image optique réelle au sens de l'optique géométrique, photographiable. Ce qui
trompe, c'est l'interprétation cérébrale (« les rayons se propagent en ligne droite, donc l'objet
est là-bas »). On peut d'ailleurs inverser le raisonnement : la connaissance de la position vraie
d'une étoile permet de mesurer $n_0 - 1$, et les astronomes corrigent systématiquement la
réfraction (tables de réfraction) ; les systèmes GPS corrigent de même le retard de propagation
dans la troposphère.
\end{jury}

\section*{Conclusion : l'analogie optico-mécanique}

L'équation des rayons $\dfrac{\dd}{\dd s}(n\vec{u}) = \grad n$ rappelle une équation de la
mécanique. Pour une particule de masse $m$, d'énergie $E$ dans un potentiel $V(\vec{r})$, le principe
de Maupertuis affirme que la trajectoire rend stationnaire l'action réduite
$\int p\,\dd s$, avec $p = \sqrt{2m(E - V)}$. La comparaison avec $\delta\int n\,\dd s = 0$ suggère
la correspondance $n \leftrightarrow p$ ; on vérifie en effet, à partir de $m\,\dd\vec{v}/\dd t = -\grad V$
et $\dd s = v\,\dd t$, que
\[
	\deriv{}{s}\big(p\,\vec{u}\big) = \frac{1}{v}\deriv{(m\vec{v})}{t} = -\frac{\grad V}{v}
	= \grad\sqrt{2m(E-V)} = \grad p .
\]
La trajectoire d'un rayon dans le milieu $n(\vec{r})$ est celle d'une particule fictive de
quantité de mouvement $p = n$ : c'est l'\emph{analogie de Hamilton} (vers 1830), que de Broglie
(1923--1924) réinterprète avec $\lambda = h/p$ : $p \propto 1/\lambda$ comme $n \propto 1/\lambda$.
Schrödinger (1926) complète le tableau en cherchant l'équation d'onde dont la mécanique classique
est la limite, exactement comme l'optique géométrique est la limite eikonale de l'optique
ondulatoire.

\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[1.3,l] X[1.3,l]}, width=0.9\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
Optique & Mécanique \\
optique ondulatoire (Helmholtz) & mécanique quantique (Schrödinger) \\
limite $\lambda_0 \to 0$ : équation eikonale $(\grad L)^{2} = n^{2}$ & limite $\hbar \to 0$ : Hamilton--Jacobi $(\grad S)^{2} = 2m(E-V)$ \\
rayon lumineux, $\delta\int n\,\dd s = 0$ (Fermat) & trajectoire, $\delta\int p\,\dd s = 0$ (Maupertuis) \\
chemin optique $L$, phase $k_0 L$ & action réduite $S$, phase $S/\hbar$ \\
$\dfrac{\dd}{\dd s}(n\vec{u}) = \grad n$ & $\dfrac{\dd}{\dd s}(p\vec{u}) = \grad p$ \\
\end{tblr}
\end{center}

Dans la formulation de Feynman (intégrales de chemin), chaque trajet contribue avec la phase
$S/\hbar$ et la trajectoire classique émerge par phase stationnaire, exactement comme le rayon
émerge de la somme de Huygens--Fresnel. Le principe de Fermat, premier principe variationnel de
l'histoire, est ainsi le prototype de la façon dont la physique moderne formule ses lois.

\clearpage
\section*{Annexe A --- Questions classiques du jury}

\begin{enumerate}[label=\textbf{Q\arabic*.}, leftmargin=2.2em, itemsep=4pt]
	\item \emph{Le principe de Fermat est-il un principe de moindre temps ?} --- Non : de temps
	\emph{stationnaire}. Contre-exemple : miroir concave plus courbé que l'ellipse de foyers $A$, $B$
	(chemin maximal). L'énoncé de Fermat lui-même parlait de minimum ; la reformulation est due à
	Hamilton.
	\item \emph{Est-ce un principe fondamental ?} --- Non : c'est une conséquence des équations de
	Maxwell dans la limite $\lambda_0 \to 0$ (équation eikonale), ou du principe de Huygens--Fresnel par
	phase stationnaire. Il tombe en défaut là où la diffraction compte (bords, caustiques, foyers).
	\item \emph{Pourquoi la lumière « choisit-elle » ce chemin ?} --- Elle ne choisit pas : tous les
	chemins contribuent, et seuls ceux proches du chemin stationnaire interfèrent constructivement.
	\item \emph{Fermat ou Huygens pour démontrer Snell--Descartes ?} --- Les deux sont équivalents dans
	un milieu isotrope (théorème de Malus--Dupin : rayons $\perp$ surfaces d'onde). Fermat est plus
	économique pour les milieux inhomogènes ; Huygens se généralise mieux aux milieux anisotropes.
	\item \emph{Le retour inverse est-il toujours vrai ?} --- Dans les milieux réciproques. Il est
	violé par les milieux magnéto-optiques (effet Faraday, isolateurs optiques) et, plus généralement,
	par tout milieu dont le tenseur diélectrique n'est pas symétrique.
	\item \emph{Que devient le principe dans un milieu anisotrope ?} --- Il reste valable à condition
	d'utiliser l'\emph{indice de rayon} $n_r$ (chemin optique $\int n_r\,\dd s$ le long du rayon, qui
	n'est plus colinéaire à $\vec{k}$).
	\item \emph{Et dans un milieu dispersif ?} --- Le principe s'applique à chaque composante
	monochromatique avec $n(\omega)$ ; les rayons de couleurs différentes suivent des trajets différents
	(arc-en-ciel, rayon vert, aberration chromatique).
	\item \emph{Vers où se courbe un rayon ?} --- Vers les indices croissants : $1/R = \vec{e}_N\cdot\grad n/n > 0$.
	Mnémotechnique : le rayon « préfère » ralentir (la lumière va plus lentement là où $n$ est grand).
	\item \emph{Pourquoi la route paraît-elle mouillée ?} --- L'œil reçoit sous l'horizon de la lumière
	issue du ciel ; le cerveau l'interprète comme une réflexion sur une surface d'eau. La « flaque »
	recule quand on avance car seuls les rayons rasants ($< \ang{0.5}$) se retournent.
	\item \emph{Le Soleil couchant est-il déjà couché ?} --- Oui : la réfraction à l'horizon ($\simeq 35'$)
	dépasse son diamètre apparent ($32'$). Elle allonge le jour de quatre à six minutes environ aux latitudes moyennes.
	\item \emph{Applications industrielles de l'équation des rayons ?} --- Fibres à gradient d'indice,
	lentilles GRIN (micro-optique, endoscopes), conception des antennes (lentille de Luneburg), optique
	adaptative, cristallin de l'œil (indice de $1{,}386$ en périphérie à $1{,}406$ au centre).
	\item \emph{Quelle expérience trancha entre Descartes et Fermat ?} --- Foucault (1850) mesura par la
	méthode du miroir tournant $v_{\text{eau}} < v_{\text{air}}$ : la lumière ralentit dans les milieux
	denses, comme l'exige le principe de Fermat (et le modèle ondulatoire), contrairement au modèle
	corpusculaire de Descartes--Newton.
\end{enumerate}

\section*{Annexe B --- Erreurs et imprécisions corrigées par rapport aux notes manuscrites}

\begin{enumerate}[itemsep=2pt]
	\item « $c$, la constante d'Einstein » $\to$ vitesse de la lumière dans le vide, valeur exacte
	$\qty{299792458}{\metre\per\second}$ ; « constante d'Einstein » désigne $8\pi G/c^{4}$.
	\item « Le rayon lumineux se déplace à la vitesse $c/n$ » $\to$ le rayon est une courbe ; $c/n$ est
	la vitesse de \emph{phase}, l'énergie allant à la vitesse de groupe.
	\item « $\vec{k}$ colinéaire au vecteur de Poynting » $\to$ seulement dans un milieu isotrope ;
	hypothèse rendue explicite.
	\item Datation : lettre à Cureau de la Chambre (1657) et \emph{Synthèse pour les réfractions} (1662) ;
	énoncé moderne de stationnarité dû à Hamilton (1828--1837) ; de Broglie 1923--1924.
	\item Loi de la réflexion : $\vec{N}\times\vec{u}_2 = \vec{N}\times\vec{u}_1$ admet aussi la solution
	triviale $\vec{u}_2 = \vec{u}_1$ ; la condition « le rayon repart dans le milieu 1 » a été ajoutée, et la
	loi s'écrit $i_2 = -i_1$ en angles orientés.
	\item Équation des rayons : l'hypothèse d'extrémités fixes ($\delta\vec{r} = \vec{0}$ en $S_1$ et
	$S_2$), implicite dans les notes, est énoncée ; la variation $\delta(\dd s) = \vec{u}\cdot\dd(\delta\vec{r})$
	est justifiée.
	\item « $\varepsilon \simeq (n-1)\tan\zeta$ : l'approximation est toujours valable ! » $\to$ fausse
	près de l'horizon ($\tan\zeta \to \infty$) ; la réfraction à l'horizon vaut $35'$ et c'est précisément
	elle qui explique l'aplatissement du Soleil évoqué dans les notes.
	\item Valeur numérique : $\varepsilon(\ang{45}) \simeq \num{2.8e-4}\,\text{rad} \simeq 58''$ (notes :
	« $3\times10^{-4}$ rad », ordre de grandeur correct).
	\item Conclusion : « particule fictive de vitesse $\vec{e}_T$ » $\to$ de quantité de mouvement
	$p\,\vec{e}_T$ avec $p \leftrightarrow n$ ; la force « $v\,\grad n$ » dérive de $V = -n^{2}/2$, et
	l'analogie rigoureuse est celle de Maupertuis.
	\item « $n_{\text{air}} \sim 1$ » $\to$ $n_{\text{air}} - 1 \simeq \num{2.9e-4}$, grandeur qui pilote
	toute la réfraction atmosphérique ; tableau d'indices complété.
	\item Plan : les notes ne minutaient que quatre sous-parties ; un plan complet de 40 minutes est
	proposé, et les parties stigmatisme, Malus--Dupin, eikonale, fibres et mirages, absentes ou
	seulement évoquées, ont été rédigées.
\end{enumerate}

\section*{Bibliographie}

\begin{enumerate}[label={[\arabic*]}, leftmargin=2.4em, itemsep=1pt]
	\item J.-P. \textsc{Pérez}, \emph{Optique : fondements et applications}, Dunod, 7\textsuperscript{e} éd., 2004,
	chap.~1 (bases de l'optique géométrique) et chap.~2 (principe de Fermat, milieux inhomogènes, mirages).
	\item E. \textsc{Hecht}, \emph{Optics}, Pearson, 5\textsuperscript{e} éd., 2017, §4.5 (Fermat's principle)
	et §5.2 (stigmatisme et égalité des chemins optiques).
	\item M. \textsc{Born}, E. \textsc{Wolf}, \emph{Principles of Optics}, Cambridge University Press,
	7\textsuperscript{e} éd., 1999, chap.~3 (eikonale, équation des rayons, Fermat, Malus--Dupin) et
	appendice~I (analogie optico-mécanique).
	\item R. \textsc{Feynman}, R. \textsc{Leighton}, M. \textsc{Sands}, \emph{Le cours de physique de Feynman},
	Mécanique 2, Dunod, chap.~26 (« Optique : le principe du moindre temps ») et 27.
	\item R. \textsc{Feynman}, \emph{Lumière et matière, une étrange histoire}, Points Sciences, 1987
	(phase stationnaire et principe de Fermat).
	\item \textsc{Sextant}, \emph{Optique expérimentale}, Hermann, 1997 (expériences d'optique géométrique).
	\item R. \textsc{Duffait}, \emph{Expériences d'optique à l'agrégation de sciences physiques}, Bréal
	(cuve à gradient d'indice, fibres).
	\item L. \textsc{Landau}, E. \textsc{Lifchitz}, \emph{Théorie des champs}, §53--54 (optique géométrique,
	eikonale) ; \emph{Mécanique}, §44 (principe de Maupertuis).
	\item R. \textsc{Taillet}, L. \textsc{Villain}, P. \textsc{Febvre}, \emph{Dictionnaire de physique}, De Boeck,
	4\textsuperscript{e} éd., 2018 (entrées \emph{Fermat}, \emph{mirage}, \emph{eikonale}).
	\item G. G. \textsc{Bennett}, « The calculation of astronomical refraction in marine navigation »,
	\emph{Journal of Navigation} \textbf{35}, 255--259 (1982).
	\item P. de \textsc{Fermat}, lettre à Cureau de la Chambre (1657) et \emph{Synthèse pour les réfractions}
	(1662), dans \emph{Œuvres de Fermat}, t.~II, Gauthier-Villars, 1894.
	\item CODATA 2018, valeurs recommandées des constantes fondamentales (NIST).
\end{enumerate}

\end{document}