% LP35 — Diffraction de Fraunhofer
% Notes de cours retravaillées pour la préparation à l'agrégation de physique.
% Compilation : BeforeAdd/common/compile.sh LP35-Diffraction/LP35-Diffraction.tex (LuaLaTeX)
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\input{agreg-preamble}
\lecon{LP35}{Diffraction de Fraunhofer}
\niveau{Licence 3 de physique. Le cœur de la leçon (fente, réseau, tache d'Airy, critère de Rayleigh)
	est au programme de CPGE deuxième année ; la formule de Fresnel-Kirchhoff relève de la licence.}
\prerequis{Optique géométrique et ses limites ; ondes électromagnétiques, équations de d'Alembert et de
	Helmholtz ; principe de Huygens-Fresnel (énoncé qualitatif) ; interférences à deux ondes ;
	transformée de Fourier (linéarité, translation, dilatation, théorème de Parseval) ; fonctions de
	Bessel (résultats admis).}
\leconbiblio{M.~\textsc{Born} et E.~\textsc{Wolf}, \emph{Principles of Optics}, Cambridge, chap.~8 ;
	J.~W.~\textsc{Goodman}, \emph{Introduction to Fourier Optics}, Roberts, chap.~3--5 ;
	E.~\textsc{Hecht}, \emph{Optique}, Pearson, chap.~10 ;
	J.-Ph.~\textsc{Pérez}, \emph{Optique, fondements et applications}, Dunod, chap.~« Diffraction » ;
	R.~\textsc{Taillet}, \emph{Optique physique}, De Boeck ;
	Sextant, \emph{Optique expérimentale}, Hermann ; R.~\textsc{Duffait}, \emph{Expériences d'optique}, Bréal.}

% Flottants : autoriser les grandes figures à partager une page avec du texte.
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\begin{document}
\maketitlelecon

\section*{Plan et minutage}
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[2.6,l] X[1,c] X[2.4,l]}, width=0.98\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=3pt}
Partie & Durée & Point clé / expérience \\
Introduction & 3 min & Expérience introductive : laser et fente réglable \\
I. De Huygens-Fresnel à Fraunhofer & 14 min & Formule de Fresnel-Kirchhoff, nombre de Fresnel, montage à deux lentilles, amplitude = transformée de Fourier \\
II. Figures de diffraction d'ouvertures simples & 15 min & Fente (mesure de $b$), réseau de $N$ fentes, tache d'Airy \\
III. Applications & 6 min & Critère de Rayleigh ; filtrage spatial (expérience d'Abbe) \\
Conclusion & 2 min & Ordre $\lambda/D$ ; ouverture vers Fresnel, rayons X, imagerie \\
\end{tblr}
\end{center}

\section*{Introduction}

\begin{experience}[Expérience introductive : laser et fente réglable]
Un faisceau laser He-Ne traverse une fente de largeur réglable ; l'écran est placé à plusieurs
mètres. Pour une fente large, on observe la trace géométrique du faisceau. En \textbf{fermant} la
fente, la tache sur l'écran \textbf{s'élargit} perpendiculairement à la fente et se structure en une
tache centrale brillante bordée de taches secondaires de plus en plus faibles. L'optique géométrique,
qui prévoit une ombre de plus en plus étroite, est prise en défaut.
\end{experience}

Ce phénomène, la \textbf{diffraction}, apparaît chaque fois qu'une onde rencontre un obstacle ou une
ouverture dont les dimensions ne sont pas très grandes devant la longueur d'onde. Il est inhérent à la
nature ondulatoire de la lumière et limite la résolution de tous les instruments d'optique.

\begin{histoire}
Des observations qualitatives sont attribuées à Léonard de Vinci (fin du \textsc{xv}\textsuperscript{e}
siècle). Le jésuite Francesco Maria \textbf{Grimaldi} décrit le phénomène et forge le mot
\emph{diffractio} dans un ouvrage posthume (1665). \textbf{Huygens} (1690) propose les ondelettes
secondaires, \textbf{Young} (1801) le principe d'interférence, et \textbf{Fresnel} (1818) les
combine dans un mémoire couronné par l'Académie en 1819 ; Poisson objecte qu'un disque opaque
devrait alors présenter un point brillant au centre de son ombre, ce qu'Arago vérifie aussitôt.
\textbf{Kirchhoff} (1882) donne au principe de Huygens-Fresnel sa base mathématique à partir de
l'équation d'onde, et \textbf{Sommerfeld} (1896) obtient la première solution rigoureuse (demi-plan
parfaitement conducteur). Le problème général reste très difficile : cette leçon se place dans
l'\emph{approximation de Fraunhofer}, la plus simple et la plus utile en pratique.
\end{histoire}

\begin{transition}
Partons de l'équation d'onde pour établir, avec des approximations contrôlées, une formule
opératoire de la diffraction « à l'infini ».
\end{transition}

\section{De Huygens-Fresnel à Fraunhofer}

\subsection{Cadre : théorie scalaire et équation de Helmholtz}

Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope, non magnétique et sans charges ni courants libres, les
équations de Maxwell ($\divg\vec D = 0$, $\divg\vec B = 0$, $\rot\vec E = -\partial_t\vec B$,
$\rot\vec B = \mu_0\,\partial_t\vec D$ avec $\vec D = n^2\eps_0\vec E$ et $\eps_0\mu_0 c^2 = 1$)
conduisent à l'équation de d'Alembert pour chaque composante cartésienne $\psi$ de $\vec E$ ou de
$\vec B$ :
\[
	\Delta\psi - \frac{n^2}{c^2}\pdderiv{\psi}{t} = 0 .
\]
On adopte la \textbf{convention} $\psi(M,t) = \Re\big[\ul\psi(M)\,\ee^{-\ii\omega t}\big]$ : une onde
monochromatique vérifie alors l'\textbf{équation de Helmholtz}
\[
	\boxed{\;(\Delta + k^2)\,\ul\psi = 0,\qquad k = \frac{n\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}\;}
\]
et l'onde sphérique divergente issue d'un point s'écrit $\ee^{\ii kr}/r$.

\begin{attention}[Convention de signe]
Avec la convention $\ee^{\ii(\omega t - kr)}$, fréquente dans les ouvrages français, tous les $\ii$
des formules qui suivent changent de signe (ondes sphériques $\ee^{-\ii kr}/r$, préfacteur $+\ii/\lambda$,
noyau de Fourier $\ee^{+2\ii\pi(uX+vY)}$). Les \emph{intensités} ne dépendent pas de la convention. Les
notes manuscrites mélangeaient les deux : il faut en choisir une et s'y tenir.
\end{attention}

\begin{remarque}
Traiter une composante scalaire revient à négliger le couplage entre composantes imposé par les
conditions aux limites sur l'écran : c'est la \emph{théorie scalaire}, excellente dès que l'ouverture
est grande devant $\lambda$ et que l'on observe loin des bords. Elle ne dit rien de la polarisation.
\end{remarque}

\subsection{Théorème intégral de Kirchhoff et formule de Fresnel-Kirchhoff}

\begin{theoreme}[Théorème intégral de Kirchhoff (1882)]
Soit $\ul\psi$ une solution de l'équation de Helmholtz, continue ainsi que ses dérivées premières
dans un volume $V$ limité par une surface fermée $\mathcal S$. Pour tout point $P$ intérieur à $V$,
\[
	\ul\psi(P) = \frac{1}{4\pi}\oiint_{\mathcal S}\left[\ul\psi\,\pderiv{}{n}\!\left(\frac{\ee^{\ii ks}}{s}\right)
	- \frac{\ee^{\ii ks}}{s}\,\pderiv{\ul\psi}{n}\right]\dd S ,
\]
où $s$ est la distance de $P$ au point courant de $\mathcal S$ et $\vec n$ la normale rentrante.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}[idée]
On applique la seconde identité de Green à $\ul\psi$ et à la fonction de Green $G = \ee^{\ii ks}/s$,
toutes deux solutions de Helmholtz, dans le volume $V$ privé d'une petite sphère centrée en $P$ (où $G$
diverge). La contribution de la petite sphère tend vers $-4\pi\ul\psi(P)$ lorsque son rayon tend vers
zéro, ce qui donne la formule. La connaissance de $\ul\psi$ et de $\partial_n\ul\psi$ sur $\mathcal S$
détermine donc $\ul\psi$ partout à l'intérieur : c'est la version mathématique de l'idée de Huygens.
\end{demonstration}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.78\linewidth]{figures/pdf/fig-kirchhoff.pdf}
	\caption{Géométrie de la formule de Fresnel-Kirchhoff : source ponctuelle $P_0$, ouverture
	$\mathcal A$ percée dans un écran opaque, point d'observation $P$. Le point courant $Q$ de
	l'ouverture reçoit l'onde incidente $A\,\ee^{\ii ks}/s$ et rayonne une ondelette $\ee^{\ii kr}/r$.}
	\label{fig:kirchhoff}
\end{figure}

Appliquons le théorème à la situation de la figure~\ref{fig:kirchhoff}. La surface $\mathcal S$ est
constituée de l'ouverture $\mathcal A$, de la face arrière de l'écran et d'une grande sphère
centrée en $P$. Kirchhoff postule les \textbf{conditions aux limites} suivantes :
\begin{itemize}
	\item sur l'ouverture, $\ul\psi$ et $\partial_n\ul\psi$ sont ceux de l'onde incidente
	      $\ul\psi_{\rm inc}(Q) = A\,\ee^{\ii ks}/s$ ;
	\item sur l'écran, $\ul\psi = 0$ et $\partial_n\ul\psi = 0$ ;
	\item la contribution de la grande sphère s'annule (condition de rayonnement de Sommerfeld :
	      l'onde y est sortante).
\end{itemize}

\begin{theoreme}[Formule de Fresnel-Kirchhoff]
Pour $ks \gg 1$ et $kr \gg 1$ (distances grandes devant $\lambda$),
\[
	\boxed{\;\ul\psi(P) = -\frac{\ii A}{2\lambda}\iint_{\mathcal A}\frac{\ee^{\ii k(r+s)}}{r\,s}
	\Big[\cos(\vec n,\vec e_s) + \cos(\vec n,\vec e_r)\Big]\dd S\;}
\]
avec $\vec e_s$ le vecteur unitaire de $P_0$ vers $Q$, $\vec e_r$ celui de $Q$ vers $P$ et $\vec n$
la normale à l'écran orientée vers $P$.
\end{theoreme}

\begin{demonstration}
Sur $\mathcal A$, $\partial_n(\ee^{\ii ks_{P}}/s_P)$ fait intervenir la dérivée de la distance $QP$ :
$\partial_n(QP) = -\vec e_r\cdot\vec n = -\cos\chi$ ; de même $\partial_n(P_0Q) = \vec e_s\cdot\vec n
= \cos\theta_s$. En ne gardant que les termes dominants ($\ii k \gg 1/r,\,1/s$) :
\[
	\ul\psi(P) \simeq \frac{1}{4\pi}\iint_{\mathcal A}\left[\frac{A\ee^{\ii ks}}{s}\,\ii k\frac{\ee^{\ii kr}}{r}(-\cos\chi)
	- \frac{\ee^{\ii kr}}{r}\,\ii k\frac{A\ee^{\ii ks}}{s}\cos\theta_s\right]\dd S
	= -\frac{\ii kA}{4\pi}\iint_{\mathcal A}\frac{\ee^{\ii k(r+s)}}{rs}\,(\cos\theta_s + \cos\chi)\,\dd S ,
\]
et $k/4\pi = 1/(2\lambda)$. Born et Wolf écrivent $[\cos(n,r) - \cos(n,s)]$ avec un vecteur $s$
orienté de $Q$ vers la source $P_0$ (d'où $\cos(n,s) = -1$ en incidence normale) : c'est la même formule.
\end{demonstration}

\begin{attention}[Deux erreurs classiques]
Le dénominateur est le \emph{produit} $rs$ (deux ondes sphériques se multiplient), non la somme
$r+s$. Le crochet doit valoir $2$ dans la direction de propagation directe ($\theta_s = \chi = 0$) :
une écriture qui s'y annule est fausse.
\end{attention}

Si la source est éloignée et en incidence normale ($\theta_s = 0$, $s \simeq s_0$ sur toute
l'ouverture), l'amplitude incidente $\ul\psi_{\rm inc} = A\ee^{\ii ks_0}/s_0$ est uniforme et
\[
	\boxed{\;\ul\psi(P) = \frac{1}{\ii\lambda}\iint_{\mathcal A}\ul\psi_{\rm inc}(Q)\,\frac{\ee^{\ii kr}}{r}\,K(\chi)\,\dd S,
	\qquad K(\chi) = \frac{1+\cos\chi}{2}\;}
\]
C'est exactement le \textbf{principe de Huygens-Fresnel} : chaque élément $\dd S$ de l'ouverture
rayonne une ondelette sphérique d'amplitude proportionnelle à l'amplitude incidente et à $\dd S$,
avec le \emph{facteur d'obliquité} $K(\chi)$ (maximal vers l'avant, nul vers l'arrière) et le
préfacteur $1/(\ii\lambda)$ (avance de phase d'un quart de période et amplitude en $1/\lambda$),
deux ingrédients que Fresnel avait dû postuler.

\begin{remarque}[limites de la formule]
Les conditions aux limites de Kirchhoff sont mathématiquement surdéterminées (imposer à la fois
$\ul\psi$ et $\partial_n\ul\psi$ nuls sur l'écran force $\ul\psi \equiv 0$). Les formules de
Rayleigh-Sommerfeld corrigent ce défaut sans changer les résultats dans le domaine utile
(ouverture $\gg\lambda$, observation loin des bords). Pour des ouvertures polygonales compliquées,
la transformation de Maggi-Rubinowicz ramène l'intégrale de surface à une intégrale de contour.
\end{remarque}

Pour une ouverture munie d'un objet transparent (lame, filtre, réseau), on introduit la
\textbf{transmittance} complexe $\ul t(Q)$, rapport de l'amplitude juste après l'écran à l'amplitude
incidente : $\ul t = 1$ dans une ouverture, $0$ sur l'écran, $\abs{\ul t}\ee^{\ii\varphi}$ en général.
L'intégrale porte alors sur $\ul t(Q)\,\ul\psi_{\rm inc}(Q)$.

\subsection{Approximation paraxiale et approximation de Fresnel}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-geometrie-fraunhofer.pdf}
	\caption{Notations : plan pupillaire $(X,Y)$ contenant l'ouverture, plan d'observation $(x,y)$ à
	la distance $d$, point $Q(X,Y)$ de l'ouverture, point $P(x,y)$ de l'écran, $r = QP$.}
	\label{fig:geometrie}
\end{figure}

Avec les notations de la figure~\ref{fig:geometrie}, $r = \sqrt{(x-X)^2 + (y-Y)^2 + d^2}$ et
$\cos\chi = d/r$. Le terme $\ee^{\ii kr}$ oscille extrêmement vite : les contributions dominantes
viennent des points où la phase est stationnaire, au voisinage desquels le reste de l'intégrande
varie peu. On traite donc séparément l'amplitude et la phase.

\paragraph{Amplitude (approximation paraxiale).}
Si les dimensions transverses sont petites devant $d$, c'est-à-dire si
$\varepsilon = \big[(x-X)^2+(y-Y)^2\big]/d^2 \ll 1$, alors $1/r \simeq 1/d$ et $K(\chi) \simeq 1$.

\paragraph{Phase (approximation de Fresnel).}
L'exponentielle est sensible à des variations de $r$ de l'ordre de $\lambda$ : on développe
\[
	r = d\sqrt{1+\varepsilon} = d + \frac{(x-X)^2 + (y-Y)^2}{2d} - \frac{\big[(x-X)^2+(y-Y)^2\big]^2}{8d^3} + \dots,
	\qquad \varepsilon = \frac{(x-X)^2+(y-Y)^2}{d^2}.
\]

\begin{odg}[conditions usuelles]
Ouverture $\ell = \qty{1}{\milli\metre}$, $d = \qty{20}{\centi\metre}$, $\lambda = \qty{500}{\nano\metre}$.
La figure s'étend sur $x \sim \lambda d/\ell = \qty{0.1}{\milli\metre}$ ; avec $\abs{x - X} \lesssim \qty{1}{\milli\metre}$ :
$\varepsilon \lesssim 2{,}5\times10^{-5}$ (amplitude : paraxial justifié) ;
terme quadratique de phase $k\dfrac{(x-X)^2}{2d} \sim \dfrac{\pi\times10^{-6}}{5\times10^{-7}\times0{,}2} \sim 30$ rad :
\emph{non négligeable} ; terme quartique $k\dfrac{(x-X)^4}{8d^3} \sim 2\times10^{-4}$ rad : négligeable.
\end{odg}

\begin{resultat}[Intégrale de diffraction de Fresnel]
\[
	\ul\psi(x,y) = \frac{\ee^{\ii kd}}{\ii\lambda d}\iint \ul t(X,Y)\,\ul\psi_{\rm inc}(X,Y)\,
	\exp\!\left\{\ii k\,\frac{(x-X)^2+(y-Y)^2}{2d}\right\}\dd X\,\dd Y .
\]
Le champ diffracté est la \emph{convolution} du champ dans l'ouverture par le noyau de Fresnel
$\ee^{\ii k\rho^2/2d}$ : c'est la propagation paraxiale sur la distance $d$.
\end{resultat}

\subsection{Approximation de Fraunhofer et nombre de Fresnel}

Développons la phase : $\dfrac{(x-X)^2}{2d} = \dfrac{x^2}{2d} - \dfrac{xX}{d} + \dfrac{X^2}{2d}$.
Le terme $k(X^2+Y^2)/2d$ est la \emph{courbure} de l'ondelette sur l'étendue de l'ouverture. Si l'on
peut le négliger, l'intégrale ne contient plus que des termes \emph{linéaires} en $X$ et $Y$ :

\begin{resultat}[Diffraction de Fraunhofer]
Pour une ouverture de demi-dimension $a$, lorsque
\[
	\boxed{\;N_F = \frac{a^2}{\lambda d} \ll 1\;}\qquad\text{(nombre de Fresnel)},
\]
\[
	\ul\psi(x,y) = \underbrace{\frac{\ul\psi_{\rm inc}\,\ee^{\ii kd}}{\ii\lambda d}\,\ee^{\ii k\frac{x^2+y^2}{2d}}}_{\ul\psi_0(x,y)}
	\iint \ul t(X,Y)\,\exp\!\big[-2\ii\pi\,(uX + vY)\big]\,\dd X\,\dd Y,
	\qquad u = \frac{x}{\lambda d},\quad v = \frac{y}{\lambda d}.
\]
La phase quadratique $\ee^{\ii k(x^2+y^2)/2d}$ ne dépend pas de l'ouverture et disparaît dans
l'intensité : $I(x,y) = \abs{\ul\psi_0}^2\,\abs{\hat{\ul t}(u,v)}^2$.
\end{resultat}

\begin{odg}[distance de Fraunhofer]
Le terme négligé vaut au plus $\pi a^2/(\lambda d) = \pi N_F$. Exiger $\pi N_F < \varepsilon = 10^{-3}$
rad pour $2a = \qty{0.1}{\milli\metre}$ et $\lambda = \qty{0.5}{\micro\metre}$ impose $d > \pi a^2/(\lambda\varepsilon)
\simeq \qty{16}{\metre}$ ; exiger seulement $N_F \lesssim 0{,}1$ (figure déjà très proche de Fraunhofer, voir
figure~\ref{fig:fresnel-fraunhofer}) donne $d \gtrsim 10\,a^2/\lambda = \qty{5}{\centi\metre}$. Pour une
fente de $\qty{1}{\milli\metre}$ il faudrait $d \gtrsim \qty{5}{\metre}$ : en pratique on utilise une lentille.
\end{odg}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.72\linewidth]{figures/pdf/fig-fresnel-vers-fraunhofer.pdf}
	\caption{Éclairement derrière une fente de largeur $2a$ calculé avec l'intégrale de Fresnel exacte
	(intégrales de Fresnel $C$ et $S$) pour des nombres de Fresnel décroissants. Pour $N_F \gg 1$ on
	retrouve l'ombre géométrique bordée de franges ; pour $N_F \ll 1$ la figure de Fraunhofer en
	$\sinc^2$ est atteinte (tirets rouges).}
	\label{fig:fresnel-fraunhofer}
\end{figure}

\begin{remarque}[interprétation angulaire]
Pour $P$ à l'infini dans la direction $(\theta_x,\theta_y)$, la différence de marche entre les ondelettes
issues de $Q$ et de $O$ vaut $-(X\sin\theta_x + Y\sin\theta_y)$ : l'amplitude diffractée est
$\propto\iint \ul t\,\ee^{-\ii k(X\sin\theta_x + Y\sin\theta_y)}\dd X\dd Y$, soit la même formule avec
$u = \sin\theta_x/\lambda$, $v = \sin\theta_y/\lambda$. C'est la forme la plus générale (elle n'est pas
limitée aux petits angles) : \textbf{Fraunhofer = diffraction à l'infini}, et $u$, $v$ sont des
\emph{fréquences spatiales} (inverses de longueurs).
\end{remarque}

\subsection{Réalisation pratique : le montage à deux lentilles}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.88\linewidth]{figures/pdf/fig-montage-deux-lentilles.pdf}
	\caption{Montage de Fraunhofer. a) La lentille $(L_1)$ rend l'onde plane ; $(L_2)$ ramène l'infini
	dans son plan focal image : la direction $\theta$ est observée au point $x = f_2'\tan\theta$.
	b) Les deux lentilles et la pupille peuvent être accolées : le montage équivalent n'utilise qu'une
	lentille, source au foyer objet, écran au foyer image.}
	\label{fig:montage}
\end{figure}

\begin{propriete}
Une source ponctuelle au foyer objet de $(L_1)$ éclaire la pupille en onde plane ($\ul\psi_{\rm inc}$
uniforme) ; une lentille $(L_2)$ conjugue la direction $\theta$ avec le point $x = f_2'\tan\theta$ de
son plan focal image. La figure de Fraunhofer s'observe donc dans le plan focal image de $(L_2)$ avec
\[
	u = \frac{\sin\theta_x}{\lambda} \simeq \frac{x}{\lambda f_2'},\qquad v \simeq \frac{y}{\lambda f_2'} ,
\]
quelle que soit la position de la pupille entre les deux lentilles (tant que le faisceau n'est pas
vignetté), et quelle que soit la distance entre les lentilles.
\end{propriete}

Plus généralement, \textbf{la figure de diffraction de la pupille se forme autour de l'image
géométrique de la source}, quelle que soit la conjugaison utilisée : la diffraction à l'infini
intervient inévitablement dans la formation des images par tout système optique, car tout
instrument possède une pupille limitée. C'est ce qui fixe le pouvoir de résolution (partie III).

\begin{experience}[Montage de Fraunhofer sur banc d'optique]
Laser He-Ne ($\lambda = \qty{632.8}{\nano\metre}$), ou lampe à vapeur de sodium avec fente source
fine et filtre ; condenseur et fente source au foyer de $(L_1)$ ($f_1' \simeq \qty{20}{\centi\metre}$) ;
pupille ; $(L_2)$ de grande focale ($f_2' = 0{,}5$ à $\qty{1}{\metre}$ pour agrandir la figure) ; écran
ou caméra au foyer de $(L_2)$. Avec un laser, dont le faisceau est déjà quasi plan et très cohérent,
on peut supprimer $(L_1)$ et même $(L_2)$ si $d \gg a^2/\lambda$ (fentes fines).
\end{experience}

\subsection{Lien avec la transformée de Fourier}

\begin{definition}[Transformée de Fourier bidimensionnelle]
$\hat{\ul t}(u,v) = \TF[\ul t](u,v) = \displaystyle\iint \ul t(X,Y)\,\ee^{-2\ii\pi(uX+vY)}\,\dd X\,\dd Y$.
Le résultat précédent s'écrit
\[
	\boxed{\;\ul\psi(u,v) = \ul\psi_0\,\hat{\ul t}(u,v),\qquad I(u,v) = \abs{\ul\psi_0}^2\,\big|\hat{\ul t}(u,v)\big|^2\;}
\]
\textbf{L'amplitude diffractée à l'infini est la transformée de Fourier de la transmittance de la
pupille}, évaluée aux fréquences spatiales $u = x/\lambda f'$, $v = y/\lambda f'$.
\end{definition}

Les propriétés de la transformée de Fourier se traduisent immédiatement en propriétés des figures de
diffraction :

\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[1.1,l] X[1.3,l] X[1.6,l]}, width=0.98\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=3pt}
Propriété & Transformée de Fourier & Conséquence optique \\
Linéarité & $\TF[\ul t_1 + \ul t_2] = \hat{\ul t}_1 + \hat{\ul t}_2$ & Les \emph{amplitudes} de deux pupilles s'ajoutent (interférences) \\
Translation & $\TF[\ul t(X - X_0)] = \ee^{-2\ii\pi uX_0}\hat{\ul t}$ & Déplacer la pupille ne change pas l'intensité : la figure reste centrée sur l'image géométrique de la source \\
Dilatation & $\TF[\ul t(X/\alpha)] = \abs\alpha\,\hat{\ul t}(\alpha u)$ & Plus la pupille est petite, plus la figure est étendue (dans la direction où la pupille est étroite) \\
Parseval & $\iint\abs{\hat{\ul t}}^2 = \iint\abs{\ul t}^2$ & Conservation de l'énergie \\
$\ul t$ réelle & $\hat{\ul t}(-u,-v) = \hat{\ul t}(u,v)^*$ & Figure centrosymétrique : $I(-u,-v) = I(u,v)$ \\
Babinet & $\ul t + \ul t_c = 1 \Rightarrow \hat{\ul t}_c = \delta - \hat{\ul t}$ & Deux écrans complémentaires donnent la même figure hors de l'image géométrique \\
Convolution & $\TF[\ul t_1 * \ul t_2] = \hat{\ul t}_1\,\hat{\ul t}_2$ & Réseau = motif $*$ peigne : « diffraction $\times$ interférences » \\
\end{tblr}
\end{center}

\begin{transition}
Nous disposons d'un outil puissant : calculer une figure de diffraction, c'est calculer une
transformée de Fourier. Appliquons-le aux pupilles les plus courantes.
\end{transition}

\section{Figures de diffraction d'ouvertures simples}

\subsection{Ouverture rectangulaire et fente fine}

Soit une ouverture rectangulaire de largeur $b$ (selon $X$) et de hauteur $h$ (selon $Y$), éclairée en
onde plane : $\ul t(X,Y) = \rect(X/b)\,\rect(Y/h)$, où $\rect$ vaut 1 sur $[-1/2,1/2]$ et 0 ailleurs.

\begin{demonstration}[Transformée de Fourier de la fonction porte]
\[
	\int_{-b/2}^{b/2}\ee^{-2\ii\pi uX}\,\dd X = \frac{\ee^{-\ii\pi ub} - \ee^{\ii\pi ub}}{-2\ii\pi u}
	= \frac{\sin(\pi ub)}{\pi u} = b\,\sinc(ub),\qquad \sinc(x) \equiv \frac{\sin(\pi x)}{\pi x},\ \sinc(0) = 1 .
\]
Par séparation des variables, $\hat{\ul t}(u,v) = bh\,\sinc(ub)\,\sinc(vh)$.
\end{demonstration}

\begin{resultat}[Ouverture rectangulaire]
\[
	\boxed{\;I(u,v) = I_0\,\sinc^2(ub)\,\sinc^2(vh),\qquad I_0 = \abs{\ul\psi_0}^2(bh)^2,\quad
	u = \frac{\sin\theta_x}{\lambda} \simeq \frac{x}{\lambda f'}\;}
\]
\end{resultat}

\begin{attention}[Deux définitions de sinc]
On utilise ici le sinus cardinal \emph{normalisé} $\sinc(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)$, dont les zéros
sont les entiers non nuls. Beaucoup d'ouvrages écrivent $I = I_0\,\sinc^2(\pi b\sin\theta/\lambda)$
avec $\sinc(x) = \sin x/x$ : les deux écritures sont identiques, il faut seulement rester cohérent.
\end{attention}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/fig-fente-rect-2d.pdf}
	\caption{Ouverture rectangulaire ($h = 2b$) et son éclairement de Fraunhofer, représenté avec une
	échelle non linéaire $(I/I_0)^{0{,}3}$ pour rendre visibles les lobes secondaires. La figure
	s'étend davantage dans la direction où la pupille est \emph{étroite}.}
	\label{fig:rect2d}
\end{figure}

\paragraph{Fente fine.} Lorsque $h \gg b$, $\sinc^2(vh)$ est une fonction extrêmement étroite de $v$
(elle tend vers $\delta(v)/h$ quand $h \to \infty$) : toute la lumière se concentre sur la droite $v = 0$,
perpendiculaire à la fente, avec le profil
\[
	\boxed{\;I(u) = I_0\,\sinc^2(ub),\qquad \sin\theta_p = p\,\frac{\lambda}{b}\ \text{(annulations, } p = \pm1,\pm2,\dots)\;}
\]
L'intensité $I_0 \propto (bh)^2$ croît comme le carré de l'aire alors que l'étendue de la figure décroît
comme $1/(bh)$ : l'énergie totale $\iint I\,\dd u\,\dd v = \abs{\ul\psi_0}^2 bh$ est bien proportionnelle à
l'aire (théorème de Parseval). Une fente « infinie » n'a pas de sens physique : c'est la limite où la
figure n'a plus d'extension selon $v$.

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/fig-fente-sinc2.pdf}
	\caption{Profil $\sinc^2(ub)$ d'une fente de largeur $b$ : lobe central de largeur $2/b$ en fréquence
	spatiale (soit $2\lambda/b$ en $\sin\theta$ et $2\lambda f'/b$ sur l'écran), annulations aux entiers,
	maxima secondaires de hauteurs rapidement décroissantes.}
	\label{fig:sinc2}
\end{figure}

\begin{propriete}[Profil $\sinc^2$]
\begin{itemize}
	\item Annulations en $ub = \pm1, \pm2, \dots$ ; lobe central de largeur $2/b$, lobes secondaires de largeur $1/b$.
	\item Largeur totale à mi-hauteur du lobe central : $0{,}886/b$.
	\item Maxima secondaires (solutions de $\tan\pi x = \pi x$) en $ub \simeq \pm1{,}43$, $\pm2{,}46$, $\pm3{,}47$,
	      de hauteurs relatives $4{,}7\,\%$, $1{,}6\,\%$, $0{,}83\,\%$.
	\item Le lobe central contient $90{,}3\,\%$ de l'énergie.
	\item Plus la fente est fine, plus la figure est large : $\Delta\theta \simeq 2\lambda/b$. Pour $b \to \infty$
	      on retrouve l'optique géométrique (image ponctuelle de la source).
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{odg}
Laser He-Ne ($\lambda = \qty{632.8}{\nano\metre}$), fente $b = \qty{100}{\micro\metre}$ : $\sin\theta_1 = 6{,}3\times10^{-3}$,
soit $\theta_1 = \ang{0.36}$ ; à $d = \qty{2.00}{\metre}$, $x_1 = \lambda d/b = \qty{12.7}{\milli\metre}$ et le lobe central
mesure $\qty{25}{\milli\metre}$. Condition de Fraunhofer : $N_F = (b/2)^2/(\lambda d) = 2\times10^{-3} \ll 1$.
En lumière blanche, chaque longueur d'onde donne sa propre figure, homothétique en $\lambda$ : la tache
centrale est blanche, les bords des lobes sont irisés (rouge à l'extérieur).
\end{odg}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/fig-montage-experimental.pdf}
	\caption{Mesure de la largeur d'une fente par diffraction : on repère les minima d'intensité
	$x_p = p\lambda d/b$ sur un écran éloigné.}
	\label{fig:manip-fente}
\end{figure}

\begin{experience}[Mesure de la largeur d'une fente]
\textbf{Matériel} : laser He-Ne, fente calibrée (ou fente réglable), écran gradué ou caméra CCD sans
objectif, mètre ruban.
\textbf{Protocole} : placer l'écran à $d = \qty{2.00}{\metre}$ (mesuré à $\pm\qty{1}{\centi\metre}$) ; repérer sur
l'écran les positions des minima d'ordre $p = \pm1$ à $\pm4$ ($\pm\qty{0.5}{\milli\metre}$) ; tracer
$x_p$ en fonction de $p$ : la pente vaut $\lambda d/b$.
\textbf{Exemple de résultats} (valeurs typiques pour une fente nominale de $\qty{100}{\micro\metre}$ ;
$x_p$ est la moyenne des positions des ordres $+p$ et $-p$) :
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[1,c] X[1,c] X[1,c] X[1,c] X[1,c]}, width=0.7\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
$p$ & 1 & 2 & 3 & 4 \\
$x_p$ (mm) & 12,6 & 25,3 & 38,1 & 50,7 \\
\end{tblr}
\end{center}
Pente de la régression : $12{,}67 \pm 0{,}08\ \si{\milli\metre}$, d'où
$b = \lambda d/\text{pente} = \qty{99.9}{\micro\metre}$. Incertitude relative :
$\sqrt{(0{,}08/12{,}67)^2 + (0{,}01/2{,}00)^2} \simeq 0{,}8\,\%$, soit $b = (100{,}0 \pm 0{,}8)\ \si{\micro\metre}$.
On comparera à une mesure directe au microscope ou au comparateur. Avec une caméra, on ajuste
directement le profil par $I_0\sinc^2(b(x-x_0)/\lambda d) + I_{\rm fond}$ : la méthode utilise toute la
courbe et non les seuls zéros.
\textbf{Pièges} : saturation du capteur (le lobe central est $20$ fois plus intense que le premier
lobe secondaire) ; lumière parasite ; vérifier $d \gg b^2/\lambda = \qty{1.6}{\centi\metre}$.
\end{experience}

\begin{jury}[Diffraction ou interférences ?]
Il s'agit du même phénomène, la superposition d'ondes cohérentes ; on parle de \emph{diffraction}
lorsque les sources secondaires sont en nombre infini (continuum de l'ouverture) et
d'\emph{interférences} pour un nombre fini de sources. Feynman note qu'aucune distinction
satisfaisante n'a jamais été donnée. Le réseau illustre l'imbrication des deux vocabulaires.
\end{jury}

\subsection{Réseau de $N$ fentes}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-transmittance-reseau.pdf}
	\caption{Transmittance d'un réseau de $N$ fentes de largeur $b$ et de pas $a$.}
	\label{fig:treseau}
\end{figure}

La transmittance est une \emph{convolution} du motif $\rect(X/b)$ par un peigne de $N$ impulsions :
\[
	\ul t(X) = \rect\!\left(\frac Xb\right) * \sum_{q=0}^{N-1}\delta(X - qa) .
\]
Le théorème de convolution et le théorème de translation donnent
\[
	\hat{\ul t}(u) = b\,\sinc(ub)\sum_{q=0}^{N-1}\ee^{-2\ii\pi qua}
	= b\,\sinc(ub)\;\frac{1 - \ee^{-2\ii\pi Nua}}{1 - \ee^{-2\ii\pi ua}}
	= b\,\sinc(ub)\;\ee^{-\ii\pi(N-1)ua}\;\frac{\sin(N\pi ua)}{\sin(\pi ua)} .
\]

\begin{resultat}[Réseau de $N$ fentes]
\[
	\boxed{\;I(u) = N^2 I_1\;\underbrace{\sinc^2(ub)}_{\text{diffraction (facteur de forme)}}\;
	\underbrace{\left[\frac{\sin(N\pi ua)}{N\sin(\pi ua)}\right]^2}_{\text{interférences (fonction réseau)}},
	\qquad I_1 = \abs{\ul\psi_0}^2 b^2\;}
\]
$I_1$ est l'intensité au centre produite par une seule fente ; le maximum du réseau vaut $N^2 I_1$.
\end{resultat}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/pdf/fig-reseau-N.pdf}
	\caption{Réseaux de $N = 2$, $5$ et $10$ fentes avec $b = a/4$. Les maxima principaux (ordres $p$) sont
	fixés par le pas $a$, leur hauteur par l'enveloppe de diffraction d'une fente, leur largeur par $N$.}
	\label{fig:reseauN}
\end{figure}

\begin{propriete}[Fonction réseau]
\begin{itemize}
	\item \textbf{Maxima principaux} en $ua = p$ entier : $\boxed{\sin\theta_p = p\,\lambda/a}$ (ordre $p$),
	      de hauteur $N^2 I_1\sinc^2(pb/a)$ ; l'ordre $p$ est \emph{manquant} si $pb/a$ est entier
	      (par exemple les ordres pairs si $b = a/2$).
	\item \textbf{Annulations} en $ua = p \pm m/N$ ($m = 1,\dots,N-1$) : demi-largeur d'un ordre (du maximum à la première annulation)
	      $\Delta(\sin\theta) = \lambda/(Na)$, d'autant plus fine que le réseau est large.
	\item $N-2$ maxima secondaires entre deux ordres, de hauteur relative $\simeq 4{,}7\,\%$ au plus (comme le premier lobe secondaire du $\sinc^2$) (négligeables
	      pour $N$ grand).
	\item Incidence oblique $\theta_i$ : l'onde incidente apporte une phase linéaire $\ee^{\ii kX\sin\theta_i}$ qui
	      \emph{translate} la figure en fréquence : $\boxed{\sin\theta_p - \sin\theta_i = p\,\lambda/a}$
	      (formule des réseaux).
	\item $N \to \infty$ : la fonction réseau tend vers un peigne de Dirac ; chaque longueur d'onde est
	      envoyée dans des directions discrètes, d'où l'usage spectroscopique.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{propriete}[Dispersion et pouvoir de résolution]
Dérivons la formule des réseaux à $\theta_i$ fixé : $\cos\theta_p\,\dd\theta_p = p\,\dd\lambda/a$, soit une
\textbf{dispersion angulaire}
\[
	\deriv{\theta_p}{\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta_p} .
\]
Deux longueurs d'onde $\lambda$ et $\lambda + \delta\lambda$ sont séparées (critère de Rayleigh) si le maximum de l'une
tombe sur la première annulation de l'autre : $p\,\delta\lambda/a \geq \lambda/(Na)$, d'où le
\textbf{pouvoir de résolution}
\[
	\boxed{\;\mathcal R = \frac{\lambda}{\delta\lambda} = p\,N\;}
\]
qui ne dépend que de l'ordre et du nombre de traits \emph{éclairés}.
\end{propriete}

\begin{odg}
Réseau de $600$ traits/mm : $a = \qty{1.67}{\micro\metre}$. Pour $\lambda = \qty{633}{\nano\metre}$ en incidence normale,
$\sin\theta_1 = 0{,}38$ ($\theta_1 = \ang{22.3}$), $\theta_2 = \ang{49.4}$ et l'ordre 3 n'existe pas
($3\times0{,}38 > 1$). Largeur éclairée $\qty{20}{\milli\metre}$ : $N = 12\,000$, $\mathcal R_1 = 12\,000$,
$\delta\lambda \simeq \qty{0.05}{\nano\metre}$. Le doublet du sodium ($589{,}0$ et $\qty{589.6}{\nano\metre}$,
$\mathcal R \simeq 10^3$) est séparé dès $N \simeq 1000$ traits à l'ordre 1, soit $\qty{1.7}{\milli\metre}$ de réseau.
Un CD (pistes espacées de $\qty{1.6}{\micro\metre}$) ou un DVD ($\qty{0.74}{\micro\metre}$) sont d'excellents
réseaux par réflexion.
\end{odg}

\begin{experience}[Mesure d'une longueur d'onde au réseau]
Lampe à vapeur de sodium ou de mercure, fente source, collimateur, réseau sur goniomètre, lunette
autocollimatrice. En incidence normale, on pointe les ordres $p = \pm1$, $\pm2$ de chaque raie :
$\lambda = a\sin\theta_p/p$. Avec un réseau calibré, la précision est fixée par la lecture du
goniomètre ($\pm 1'$ soit $\pm 3\times10^{-4}$ rad : $\delta\lambda/\lambda \simeq 10^{-3}$ à l'ordre 1).
Variante avec le laser : $\tan\theta_p = x_p/d$ sur un écran, ce qui permet au contraire de
\emph{mesurer le pas} $a$ d'un réseau ou d'un CD. Observer qu'un réseau partiellement masqué donne des
ordres plus larges : $\mathcal R$ diminue avec $N$.
\end{experience}

\subsection{Ouverture circulaire : la tache d'Airy}

Les pupilles des instruments (objectifs, diaphragmes, œil) sont circulaires : c'est le cas le plus
important. Pour une pupille de diamètre $D$, on utilise les coordonnées polaires $Q(\rho,\varphi)$ dans
la pupille et $P(R,\theta)$ sur l'écran : $uX + vY = w\rho\cos(\varphi - \theta)$ avec
$w = \sqrt{u^2+v^2} = R/(\lambda f')$.

\begin{demonstration}[Calcul avec les fonctions de Bessel]
\[
	\hat{\ul t}(w) = \int_0^{D/2}\rho\,\dd\rho\int_0^{2\pi}\ee^{-2\ii\pi w\rho\cos(\varphi-\theta)}\,\dd\varphi
	= 2\pi\int_0^{D/2} J_0(2\pi w\rho)\,\rho\,\dd\rho ,
\]
grâce à la représentation intégrale $J_0(x) = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\ee^{-\ii x\cos\varphi}\,\dd\varphi$
(la phase $\theta$ disparaît par périodicité : la figure est de révolution). Avec
$\dfrac{\dd}{\dd x}\big[xJ_1(x)\big] = xJ_0(x)$ et $x = 2\pi w\rho$ :
\[
	\int_0^{D/2} J_0(2\pi w\rho)\,\rho\,\dd\rho = \frac{1}{(2\pi w)^2}\Big[xJ_1(x)\Big]_0^{\pi wD}
	= \frac{D}{4\pi w}\,J_1(\pi wD)
	\quad\Longrightarrow\quad
	\hat{\ul t}(w) = \frac{\pi D^2}{4}\left[\frac{2J_1(\pi wD)}{\pi wD}\right].
\]
Le crochet vaut 1 en $w = 0$ ($J_1(x) \simeq x/2$) : on retrouve l'aire de la pupille.
\end{demonstration}

\begin{resultat}[Tache d'Airy]
\[
	\boxed{\;I(\zeta) = I_0\left[\frac{2J_1(\pi\zeta)}{\pi\zeta}\right]^2,\qquad
	\zeta = \frac{D\sin\theta}{\lambda} \simeq \frac{DR}{\lambda f'},\qquad I_0 = \abs{\ul\psi_0}^2\left(\frac{\pi D^2}{4}\right)^2\;}
\]
Premier anneau sombre en $\pi\zeta_1 = 3{,}8317$ (premier zéro de $J_1$), soit
\[
	\boxed{\;\sin\theta_1 = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},\qquad R_{\rm Airy} = 1{,}22\,\frac{\lambda f'}{D}\;}
\]
\end{resultat}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/pdf/fig-airy-profil.pdf}
	\caption{Profil de la tache d'Airy comparé au $\sinc^2$ d'une fente de largeur $b = D$. Zéros en
	$\zeta = 1{,}22$ ; $2{,}23$ ; $3{,}24$ ; les anneaux sont nettement moins intenses que les lobes
	secondaires de la fente.}
	\label{fig:airyprofil}
\end{figure}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.92\linewidth]{figures/pdf/fig-airy-2d.pdf}
	\caption{Pupille circulaire et tache d'Airy (échelle $(I/I_0)^{0{,}25}$). Le disque central
	contient $83{,}8\,\%$ de l'énergie.}
	\label{fig:airy2d}
\end{figure}

\begin{propriete}[La tache d'Airy en chiffres]
Zéros de $J_1$ : $3{,}8317$ ; $7{,}0156$ ; $10{,}1735$, soit $\zeta = 1{,}220$ ; $2{,}233$ ; $3{,}238$.
Anneaux brillants de hauteurs relatives $1{,}75\,\%$ ; $0{,}42\,\%$ ; $0{,}16\,\%$. Le disque central
(\emph{disque d'Airy}) contient $83{,}8\,\%$ de l'énergie, le premier anneau $7{,}2\,\%$. Pour un
instrument, la tache d'Airy est l'\textbf{image d'un point} : on l'appelle \emph{réponse
impulsionnelle} ou \emph{fonction d'étalement du point} (PSF). L'optique géométrique, qui prévoit
une image ponctuelle, ne peut pas la décrire.
\end{propriete}

\begin{experience}[Tache d'Airy d'un trou calibré]
Laser He-Ne et trou de diamètre $D = 100$ à $\qty{200}{\micro\metre}$ (« pinhole »), écran ou caméra à
$d = \qty{2}{\metre}$. Pour $D = \qty{150}{\micro\metre}$ : $R_{\rm Airy} = 1{,}22\lambda d/D = \qty{10.3}{\milli\metre}$,
deuxième anneau sombre à $\qty{18.8}{\milli\metre}$. Mesurer les rayons des anneaux sombres donne $D$ ;
le rapport $R_2/R_1 = 1{,}83$ est une vérification sans paramètre. Un trou trop petit
($D \lesssim \qty{20}{\micro\metre}$) laisse passer trop peu de lumière ; un trou trop grand viole $N_F \ll 1$.
\end{experience}

\begin{jury}[D'où vient le facteur 1,22 ?]
C'est $x_1/\pi$ où $x_1 = 3{,}8317$ est le premier zéro de $J_1$. Il n'a rien de « magique » : pour la
fente, le même raisonnement donne $x_1 = \pi$ et le facteur 1. La valeur plus grande traduit le fait
qu'une pupille circulaire de diamètre $D$ est en moyenne plus étroite qu'une fente de largeur $D$
(ses cordes sont plus courtes), ce qui élargit la figure.
\end{jury}

\begin{transition}
La tache d'Airy étant l'image d'un point, elle fixe la plus petite distance entre deux points que
peut séparer un instrument : c'est le pouvoir de résolution.
\end{transition}

\section{Applications}

\subsection{Pouvoir de résolution des instruments : critère de Rayleigh}

Deux étoiles (sources \emph{incohérentes} entre elles) vues par un télescope de diamètre $D$ donnent deux
taches d'Airy dont les \emph{intensités} s'ajoutent. Si leur écart angulaire $\Delta\alpha$ est trop
petit, les taches se recouvrent et l'on ne voit qu'une seule tache.

\begin{definition}[Critère de Rayleigh]
Deux points sont dits \emph{résolus} si le maximum de l'une des taches tombe au moins sur le premier
zéro de l'autre :
\[
	\boxed{\;\Delta\alpha \geq \Delta\alpha_{\min} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}\;}
\]
À la limite, le creux entre les deux maxima vaut $73{,}5\,\%$ du maximum.
\end{definition}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.92\linewidth]{figures/pdf/fig-rayleigh.pdf}
	\caption{Deux sources ponctuelles incohérentes de même intensité, pour trois écarts angulaires
	(en unités de $\lambda/D$). Haut : image (échelle $\sqrt{I}$) ; bas : profil selon la ligne des
	centres (tirets : chaque source ; trait plein : somme).}
	\label{fig:rayleigh}
\end{figure}


\begin{jury}[Deux phares de voiture à 10 km]
Écart $\qty{1.3}{\metre}$ à $\qty{10}{\kilo\metre}$ : $1{,}3\times10^{-4}$ rad, inférieur à $3\times10^{-4}$ rad :
l'œil ne les sépare pas (on voit une seule lumière). Un télescope de $\qty{60}{\milli\metre}$ ($1{,}1\times10^{-5}$ rad)
les sépare largement. Augmenter le grossissement d'une lunette ne sert à rien au-delà du
\emph{grossissement résolvant} $G \simeq D/\qty{2}{\milli\metre}$ : on grossit la tache d'Airy.
\end{jury}

\begin{odg}[Résolution angulaire $1{,}22\,\lambda/D$ pour $\lambda = \qty{550}{\nano\metre}$ ($1'' = 4{,}85\times10^{-6}$ rad)]
\begin{center}
\begin{tblr}{colspec={X[1.6,l] X[0.7,c] X[1.4,c] X[3.2,l]}, width=0.98\linewidth, hlines, vlines,
	row{1}={bg=spOrangeSoft, font=\bfseries}, rowsep=2pt}
Instrument & $D$ & $\Delta\alpha_{\min}$ & Commentaire \\
Œil (pupille de jour) & 2 mm & $3{,}4\times10^{-4}$ rad $\simeq 1{,}2'$ & Acuité $\simeq 1'$ : diffraction et pas des cônes ($\qty{2.5}{\micro\metre}$, $f \simeq \qty{17}{\milli\metre}$) sont accordés \\
Télescope amateur & 200 mm & $0{,}69''$ & Limité par la turbulence (\emph{seeing} $0{,}5$ à $2''$) \\
Hubble & 2,4 m & $0{,}058''$ & Hors atmosphère : limité par la diffraction \\
VLT (une unité) & 8,2 m & $0{,}017''$ & Atteint seulement avec optique adaptative \\
ELT & 39 m & $0{,}0035''$ & Première lumière prévue fin des années 2020 \\
\end{tblr}
\end{center}
\emph{Microscope} : critère d'Abbe-Rayleigh $d_{\min} = 0{,}61\,\lambda/\mathrm{ON}$ avec l'ouverture
numérique $\mathrm{ON} = n\sin\alpha$ ; pour $\mathrm{ON} = 1{,}4$ (immersion), $d_{\min} \simeq \qty{240}{\nano\metre}$.
Le microscope électronique ($\lambda \simeq \qty{2.5}{\pico\metre}$ à $\qty{200}{\kilo\electronvolt}$) n'est limité que
par ses aberrations ($\sim\qty{0.1}{\nano\metre}$). La microscopie de fluorescence « super-résolue » (STED, PALM ;
prix Nobel de chimie 2014) contourne la limite d'Abbe en exploitant la photophysique des
fluorophores, non en violant la diffraction.
\end{odg}


\begin{remarque}
Le critère est conventionnel : Sparrow propose la disparition du creux ($0{,}95\,\lambda/D$), et un
détecteur à faible bruit permet, en ajustant un modèle de deux taches, de descendre en dessous. Mais
le bruit de photons impose toujours une limite, et $1{,}22\,\lambda/D$ reste l'ordre de grandeur de
référence. Il suppose aussi une optique parfaite (sans aberrations) : on dit alors que l'instrument
est \emph{limité par la diffraction}.
\end{remarque}

\subsection{Optique de Fourier : filtrage spatial}

Dans le montage $4f'$ de la figure~\ref{fig:abbe} (objet au foyer objet de $(L_1)$), le plan focal image de $(L_1)$ est le \textbf{plan de Fourier} :
l'amplitude y est $\hat{\ul t}(u,v)$ et chaque point $(u,v)$ représente une fréquence spatiale de
l'objet, c'est-à-dire une composante sinusoïdale de période $1/\sqrt{u^2+v^2}$ dans l'objet. Une
seconde lentille $(L_2)$ effectue une nouvelle transformée de Fourier : on obtient dans son plan
focal $\ul t(-X,-Y)$, l'\emph{image} (renversée) de l'objet. C'est l'analyse d'Abbe (1873) de la
formation des images : \textbf{l'image est une double diffraction}.

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=0.95\linewidth]{figures/pdf/fig-montage-abbe.pdf}
	\caption{Montage « $4f'$ » d'Abbe : l'objet (une grille) au foyer objet de $(L_1)$, son spectre dans le
	plan focal commun, l'image au foyer image de $(L_2)$. Un masque dans le plan de Fourier sélectionne
	les fréquences spatiales transmises : ici une fente horizontale ne garde que les ordres de la ligne
	$v = 0$, et l'image ne contient plus que des traits verticaux.}
	\label{fig:abbe}
\end{figure}

\begin{propriete}[Filtrage des fréquences spatiales]
Un masque de transmittance $m(u,v)$ placé dans le plan de Fourier multiplie le spectre : l'image
devient $\TF[\hat{\ul t}\,m] = \ul t * \check m$, \emph{convolution} de l'objet par la réponse
impulsionnelle $\check m$ du filtre.
\begin{itemize}
	\item \textbf{Passe-bas} (petit trou centré) : élimine les détails fins (\emph{détramage} d'une
	      photographie imprimée, lissage du faisceau d'un laser par un « filtre spatial » trou d'épingle).
	\item \textbf{Directionnel} (fente) : ne conserve que les structures périodiques dans une direction.
	\item \textbf{Cache central} (\emph{strioscopie}, fond noir) : supprime l'ordre 0, c'est-à-dire le
	      fond uniforme ; seules les variations (bords, défauts, gradients d'indice d'un écoulement) sont
	      lumineuses sur fond noir.
	\item \textbf{Lame de phase} (contraste de phase) : voir ci-dessous.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{figures/pdf/fig-filtrage-grille.pdf}
	\caption{Expérience d'Abbe simulée numériquement (transformée de Fourier discrète) : spectre d'une
	grille et images obtenues avec différents masques (contour orange). La ligne horizontale ne garde que
	les fréquences $v = 0$ et produit des traits verticaux ; la diagonale produit des franges de pas
	$a/\sqrt2$ ; l'ordre 0 seul donne un éclairement uniforme ; le cache central inverse le contraste.}
	\label{fig:filtrage}
\end{figure}

\begin{experience}[Expérience d'Abbe]
Laser élargi et collimaté, grille (ou toile métallique, pas $\simeq\qty{0.1}{\milli\metre}$) au foyer objet
de $(L_1)$ ($f' = \qty{20}{\centi\metre}$), masques dans le plan de Fourier (fente orientable, diaphragme à
iris, point opaque sur lame de verre), $(L_2)$, écran. Observer le spectre en grille, puis l'image
filtrée pour chaque masque. On montre ainsi \emph{en direct} que l'information sur les détails fins
réside loin de l'axe dans le plan de Fourier, et qu'un objectif de petite ouverture (qui coupe les
ordres élevés) ne peut pas résoudre un détail de période $a$ si ses ordres $\pm1$ ($\sin\theta = \lambda/a$)
ne passent pas : c'est la limite d'Abbe $a_{\min} = \lambda/\mathrm{ON}$ en éclairage cohérent.
\end{experience}

\begin{demonstration}[Contraste de phase de Zernike]
Un objet transparent mince (cellule, lame de verre inhomogène) a une transmittance
$\ul t = \ee^{\ii\varphi(X,Y)} \simeq 1 + \ii\varphi$ pour $\varphi \ll 1$. Son image directe a pour
intensité $\abs{1 + \ii\varphi}^2 \simeq 1$ : \emph{aucun contraste}. Le terme « 1 » est l'ordre 0 (fond),
concentré au centre du plan de Fourier ; le terme $\ii\varphi$ est diffracté hors de l'axe. En plaçant
au centre du plan de Fourier une lame transparente d'épaisseur $e$ telle que $(n-1)e = \lambda/4$,
l'ordre 0 est déphasé de $\pi/2$ (multiplié par $\ii$) :
\[
	\ul t_{\rm image} \simeq \ii + \ii\varphi = \ii(1+\varphi)\quad\Longrightarrow\quad I \simeq 1 + 2\varphi .
\]
La variation de \emph{phase} est convertie en variation d'\emph{intensité}, linéaire en $\varphi$.
Frits Zernike (1934) reçut le prix Nobel de physique 1953 pour cette idée, qui a révolutionné la
microscopie des cellules vivantes non colorées.
\end{demonstration}

\subsection{Au-delà de Fraunhofer}

\begin{itemize}
	\item \textbf{Diffraction de Fresnel} ($N_F \gtrsim 1$) : franges au bord des ombres, point d'Arago au centre
	      de l'ombre d'un disque, lentilles de Fresnel à zones.
	\item \textbf{Rayons X et cristaux} (Laue 1912, Bragg 1913) : le même formalisme (transformée de
	      Fourier de la densité électronique, réseau réciproque) fonde la cristallographie ; l'ADN
	      (1953) a été résolu ainsi.
	\item \textbf{Ondes de matière} : la diffraction des électrons par un cristal (Davisson et Germer, 1927)
	      a confirmé l'hypothèse de de Broglie ; celle des neutrons et des atomes est aujourd'hui courante.
	\item \textbf{Antennes et acoustique} : la directivité d'une antenne ou d'un haut-parleur est la
	      transformée de Fourier de la distribution de courant ou de vitesse sur l'ouverture.
	\item \textbf{Apodisation} : en modifiant $\ul t$ (pupille gaussienne, par exemple), on supprime
	      les anneaux au prix d'un élargissement du lobe central ; la transformée de Fourier d'une
	      gaussienne est une gaussienne, ce qui explique la propagation des faisceaux laser.
	\item \textbf{Speckle} et \textbf{holographie} (Gabor 1948, Nobel 1971) : enregistrement de la
	      phase par interférences, reconstruction par diffraction.
\end{itemize}

\section*{Conclusion}

L'optique géométrique est l'approximation d'ordre zéro en $\lambda/a$ : les rayons se propagent en ligne
droite et une pupille ne fait que découper le faisceau. La diffraction apparaît dès que l'on tient
compte de la nature ondulatoire de la lumière : dans l'approximation de Fraunhofer, valable lorsque
$N_F = a^2/\lambda d \ll 1$ ou dans le plan focal d'une lentille, \textbf{l'amplitude diffractée est la
transformée de Fourier de la transmittance de la pupille}. Cette formulation donne d'un coup la fente
($\sinc^2$), le réseau (produit interférences $\times$ diffraction, pouvoir de résolution $pN$), la
pupille circulaire (tache d'Airy, $1{,}22\,\lambda/D$), et elle explique pourquoi tout instrument a un
pouvoir de résolution limité. Elle fonde aussi l'optique de Fourier : filtrer dans le plan focal,
c'est traiter l'image, et c'est ainsi que Zernike a rendu visibles les cellules vivantes. Les mêmes
idées s'appliquent aux rayons X, aux électrons, aux antennes, et se prolongent, quand $N_F$ n'est plus
petit, par la diffraction de Fresnel.

\section*{Bibliographie}
\begin{itemize}
	\item M.~\textsc{Born}, E.~\textsc{Wolf}, \emph{Principles of Optics}, 7\textsuperscript{e} éd., Cambridge
	      University Press, 1999, chapitre 8 (théorie de Kirchhoff, Fraunhofer, Airy) : la référence pour
	      les démonstrations.
	\item J.~W.~\textsc{Goodman}, \emph{Introduction to Fourier Optics}, 4\textsuperscript{e} éd., W. H. Freeman, 2017,
	      chapitres 3 à 5 (Rayleigh-Sommerfeld, Fresnel, Fraunhofer, optique de Fourier).
	\item E.~\textsc{Hecht}, \emph{Optique}, 4\textsuperscript{e} éd., Pearson, chap.~10 : présentation pédagogique,
	      nombreuses photographies de figures de diffraction.
	\item J.-Ph.~\textsc{Pérez}, \emph{Optique, fondements et applications}, 7\textsuperscript{e} éd., Dunod, chap.
	      « Diffraction de Fraunhofer » et « Filtrage spatial ».
	\item R.~\textsc{Taillet}, \emph{Optique physique : propagation de la lumière}, De Boeck, 2015.
	\item Sextant, \emph{Optique expérimentale}, Hermann, 1997 : montages de diffraction, filtrage, strioscopie.
	\item R.~\textsc{Duffait}, \emph{Expériences d'optique à l'agrégation de sciences physiques}, Bréal.
	\item F.~\textsc{Zernike}, « How I discovered phase contrast », \emph{Science} \textbf{121}, 345 (1955) ;
	      G.~\textsc{Kirchhoff}, \emph{Ann. Phys.} \textbf{254}, 663 (1883) ; A.~\textsc{Sommerfeld},
	      \emph{Math. Ann.} \textbf{47}, 317 (1896).
\end{itemize}

\appendix
\section{Questions classiques du jury}

\begin{jury}[Où observe-t-on la figure de Fraunhofer sans lentille ?]
À grande distance, $d \gg a^2/\lambda$ ($N_F \ll 1$). Plus généralement, la figure de diffraction de la
pupille se forme \emph{autour de l'image géométrique de la source} : avec une lentille, dans le plan
conjugué de la source, qui est le plan focal si la source est à l'infini (ou au foyer objet d'une
première lentille).
\end{jury}

\begin{jury}[Pourquoi les conditions aux limites de Kirchhoff sont-elles critiquées ?]
Imposer simultanément $\ul\psi = 0$ et $\partial_n\ul\psi = 0$ sur l'écran est incompatible avec
l'équation de Helmholtz (un théorème d'unicité impose alors $\ul\psi \equiv 0$). Les deux formules de
Rayleigh-Sommerfeld, obtenues avec des fonctions de Green adaptées (image de $P$ par rapport au plan
de l'écran), n'imposent qu'une seule condition et sont cohérentes ; elles ne diffèrent de celle de
Kirchhoff que par le facteur d'obliquité ($\cos\chi$ ou $1$ au lieu de $(1+\cos\chi)/2$), sans effet
dans le domaine paraxial.
\end{jury}

\begin{jury}[Que devient la figure si la source est étendue ?]
Chaque point de la source donne une figure centrée sur sa propre image géométrique ; ces figures
s'ajoutent en intensité (source incohérente). L'image observée est la \emph{convolution} de l'image
géométrique de la source par la tache de diffraction : si la source est large devant
$\lambda f'/b$, la figure est brouillée. C'est pourquoi on utilise une fente source \emph{parallèle} à
la fente diffractante : on peut l'élargir dans la direction où la figure n'a pas de structure.
\end{jury}

\begin{jury}[Et en lumière blanche ?]
La figure est homothétique en $\lambda$ : tache centrale blanche, bords irisés avec le rouge à
l'extérieur ; pour un réseau, chaque ordre $p \neq 0$ est un spectre (le violet dévié le moins), et
les ordres se recouvrent dès $p \geq 2$ ($2\times\qty{400}{\nano\metre} < 1\times\qty{800}{\nano\metre}$).
\end{jury}

\begin{jury}[Pourquoi l'intensité est-elle en $\sinc^2$ et non en $\sinc$ ?]
Les détecteurs (œil, capteur) sont sensibles à la moyenne temporelle du carré du champ : l'intensité
est le module carré de l'amplitude complexe. Les lobes secondaires correspondent aux changements de
signe de l'amplitude (déphasage de $\pi$ d'un lobe au suivant), invisibles sur l'intensité mais
observables par interférométrie.
\end{jury}

\begin{jury}[Diffraction par un cheveu : théorème de Babinet]
Un fil opaque de diamètre $b$ et une fente de même largeur ont des transmittances complémentaires
($\ul t_{\rm fil} = 1 - \ul t_{\rm fente}$) : hors de l'image géométrique de la source (ici le point
central du faisceau laser), leurs figures sont identiques. On mesure ainsi le diamètre d'un cheveu
($50$ à $\qty{100}{\micro\metre}$) avec un laser et un mètre.
\end{jury}

\begin{jury}[Que vaut le facteur d'obliquité et a-t-il une importance ?]
$K(\chi) = (1+\cos\chi)/2$ dans la théorie de Kirchhoff : il vaut 1 vers l'avant et 0 vers l'arrière,
ce qui règle l'objection historique faite à Huygens (pourquoi pas d'onde « en retour » ?). En
pratique, les angles de diffraction sont petits ($\lambda/a \ll 1$) et $K \simeq 1$.
\end{jury}

\begin{jury}[Pourquoi augmenter le diamètre d'un télescope ?]
Pour collecter plus de lumière (flux $\propto D^2$) \emph{et} pour améliorer la résolution
($\propto 1/D$), ce qui n'est effectif au sol qu'avec une optique adaptative corrigeant la
turbulence. Le grossissement, lui, ne change pas la quantité d'information.
\end{jury}

\begin{jury}[Peut-on « battre » la limite de diffraction ?]
Elle borne la \emph{résolution d'une image formée en champ lointain}. On la contourne en champ proche
(microscopie SNOM, ondes évanescentes), par la photophysique (STED, PALM : on localise des molécules
isolées à mieux que $\lambda/D$ car localiser un objet \emph{unique} n'est pas le séparer d'un voisin),
ou par la synthèse d'ouverture (interférométrie : $D$ effectif = distance entre télescopes).
\end{jury}

\section{Erreurs et imprécisions corrigées par rapport aux notes manuscrites}

\begin{enumerate}
	\item Formule de Fresnel-Kirchhoff : dénominateur $rs$ (produit) et non $r + s$ ; crochet
	      $[\cos(\vec n,\vec e_s) + \cos(\vec n,\vec e_r)]$ avec les vecteurs de la figure, et non
	      $[\cos(n,s) - \cos(n,r)]$ qui s'annule vers l'avant.
	\item Convention temporelle $\ee^{-\ii\omega t}$ annoncée mais noyau de Fresnel écrit avec le signe de
	      la convention opposée ; préfacteur de Fraunhofer incohérent avec le noyau. Une seule convention
	      est maintenue ici, l'autre est signalée.
	\item Préfacteur paraxial : $1/(\ii\lambda d)$ devant $\ul\psi_{\rm inc}$ (un facteur 2 avait été perdu
	      avec $A_0 = A\ee^{\ii ks_0}/2s_0$).
	\item Ordre de grandeur « $\lambda d/\ell = 0{,}05$ mm » : la valeur correcte est $\qty{0.1}{\milli\metre}$
	      (demi-largeur du lobe central) pour $\ell = \qty{1}{\milli\metre}$, $d = \qty{20}{\centi\metre}$,
	      $\lambda = \qty{500}{\nano\metre}$.
	\item Second zéro de la tache d'Airy : $\zeta_2 = 7{,}0156/\pi = 2{,}233$ et non $2{,}33$ (également
	      corrigé dans le script Python d'origine).
	\item Fonction d'Airy : $I_0[2J_1(\pi\zeta)/(\pi\zeta)]^2$ ; les notes écrivaient $2J_1(\xi)/(\pi\xi)$ et
	      le fichier \texttt{diffrac.tex} omettait le carré.
	\item Transmittance du réseau : $\rect\big((X - qa)/b\big)$ et non $\rect(X/b - qa)$ (homogénéité).
	\item Fente infinie : le $\sinc$ se concentre en $v = 0$, non en « $v = 1$ ».
	\item Largeur à mi-hauteur du lobe central : $0{,}886/b$ (et non « $0{,}85/b$ ») ; le mot « interfrange »
	      est réservé aux interférences, on parle ici de l'écart $\lambda d/b$ entre annulations.
	\item Intensité du réseau : $I_0$ désigne l'intensité d'une fente ; le maximum vaut $N^2 I_0$.
	\item Résolutions angulaires : valeurs recalculées avec le facteur $1{,}22$ ($\simeq 1'$ pour
	      l'œil et non $50''$).
	\item Filtrage diagonal : les franges de l'image ont un pas $a/\sqrt2$ (l'écart des spots dans le
	      plan de Fourier est, lui, multiplié par $\sqrt2$).
\end{enumerate}

\section{Script : calcul de la tache d'Airy}

Les figures de ce document sont produites par des scripts Python (dossier \texttt{figures/}) ; en voici
l'essentiel pour la tache d'Airy. La fonction de Bessel $J_1$ est fournie par SciPy.

\begin{lstlisting}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import j1, jn_zeros

def airy(zeta):
    """[2 J1(pi zeta)/(pi zeta)]^2, avec la limite 1 en zeta = 0."""
    x = np.pi * np.asarray(zeta, dtype=float)
    out = np.ones_like(x)
    nz = np.abs(x) > 1e-12
    out[nz] = (2 * j1(x[nz]) / x[nz]) ** 2
    return out

print(jn_zeros(1, 3) / np.pi)      # zéros : 1.2197, 2.2331, 3.2383

z = np.linspace(-4, 4, 801)        # zeta = D sin(theta) / lambda
X, Y = np.meshgrid(z, z)
I = airy(np.hypot(X, Y))
plt.imshow(I ** 0.25, extent=[-4, 4, -4, 4], cmap="gray")   # gamma pour voir les anneaux
plt.xlabel(r"$\zeta_x$"); plt.ylabel(r"$\zeta_y$"); plt.show()
\end{lstlisting}

\end{document}