Oscillateur harmonique quantique
🗜️

Oscillateur harmonique quantique

Notes de cours brutes, aucun objectif pédagogique pour l'instant.

Exprimons l'opérateur hamiltonien :

On pose :

Le tout nous amène à réécrire l'opérateur :

Pour résoudre l'équation on introduit deux opérateurs subsidiaires : les opérateurs annihilation et création .

Calculons le commutateur quantique

On réécrit l'hamiltonien :

Ce qui donne de manière très élémentaire en additionnant (1) et (2) puis en divisant:

Reprenons l'équation aux valeurs propres :

En utilisant et en appliquant l'opérateur :

On applique à :

Or est connu de :

Ce qui donne en faisant de même avec :

Si on applique fois sur on obtient et sa valeur propre :

Si on applique encore une fois :

Remarques :

  • Comme admet comme valeur propre associée à l'état on introduit ce nouvel opérateur
  • On peut montrer que et
  • On en tire une première propriété intéressante :
  • Puis une seconde :